1.A = 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2⁵⁹ + 2⁶⁰

Xét .dãy số: 1; 2; 3; 4; .... 59; 60 Dãy số này có 60 số hạng vậy A có 60 hạng tử.

vì 60 : 2 = 30 nên nhóm hai số hạng liên tiếp của A vào một nhóm thì ta được:

A = (2¹ + 2²) + (2³ + 2⁴) +...+ (2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2.(1 + 2) + 2³.(1 +2) +...+ 2⁵⁹.(1 +2)

A =2.3 + 2³.3  + ... + 2⁵⁹.3

A =3.( 2 + 2³+...+ 2⁵⁹)

Vì 3 ⋮ 3 nên A = 3.(2 + 2³ + ... + 2⁵⁹)⋮3 (đpcm)

áp dụng công thức là ra :))))

2, M = 3ⁿ⁺³ + 3ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺³ + 2ⁿ⁺² ⋮ 6

   M = 3ⁿ⁺¹.(3² + 1) + 2ⁿ⁺².(2 + 1) 

    M = 3ⁿ.3.(9 + 1) + 2ⁿ⁺¹.2 . 3

    M = 3ⁿ.30 + 2ⁿ⁺¹.6

   M = 6.(3ⁿ.5 + 2ⁿ⁺¹)

   Vì 6 ⋮ 6 nên M = 6.(3ⁿ.5+ 2ⁿ⁺¹) ⋮ 6 (đpcm)

A=2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^2010 

=(2+2^2)+(2^3+2^4)+...+(2^2010+2^2011)

=2.(1+2)+2^3.(1+2)+...+2^2010.(1+2)

=2.3+2^3.3+...+2^2010.3

=(2+2^3+2^2010).3

=> A chia het cho 3

​​​​ 

Mà câu c bạn đánh chia hết thành chết hết rồi kìa

em chịu!!!!!!!!!!!

\(A=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(\dfrac{1}{4}\right)^2+...+\left(\dfrac{1}{2013}\right)^2\)

\(A=\left(\dfrac{1}{2+3+4+...+2013}\right)^2\)

\(A=\left(\dfrac{1}{\left(2013-2\right)+1}\right)^2\)

\(A=\left(\dfrac{1}{2012}\right)^2\)

\(A=\dfrac{1}{2012\cdot2012}\)

\(\Rightarrow A=\dfrac{1}{2012}< \dfrac{3}{4}\)

Bài 1. Ta chứng minh \(A=10^{150}+5\cdot10^5+1\) không là số lập phương. 

Bổ đề. Một số lập phương không âm bất kì chia cho 9 chỉ có thể dư là 0,1 hoặc 8.

Chứng minh. Xét \(x\) là số tự nhiên bất kì. Nếu \(x\) chia hết cho 3  thì \(x^3\)  hiển nhiên chia hết cho 9 nên số dư chia cho 9 bằng 0.

Nếu \(x\) chia hết 3 dư là 1 thì \(x=3k+1\to x^3=\left(3k+1\right)^3=27k^3+27k^2+9k+1\) chia 9 có số dư là 1.

Nếu \(x\) chia hết 3 dư là 1 thì \(x=3k+2\to x^3=\left(3k+2\right)^3=27k^3+54k^2+18k+8\) chia 9 có số dư là 8.

Quay trở lại bài toán, ta thấy \(10\) chia 9 dư 1 nên \(A\) chia 9 dư là \(1+5+1=7\to\)\(A\) không thể là lập phương của số tự nhiên.

Bài 2. Ta chứng minh bài toán bằng quy nạp. Với n=****. Giả sử đúng đến n, thức là ta đã có \(1^3+2^3+\cdots+n^3=\left(1+2+\cdots+n\right)^2.\)

Khi đó \(1^3+2^3+\cdots+n^3+\left(n+1\right)^3=\left(1+2+\cdots+n\right)^2+\left(n+1\right)^3\)

\(=\frac{n^2\left(n+1\right)^2}{4}+\left(n+1\right)^3=\left(n+1\right)^2\cdot\frac{n^2+4n+4}{4}=\frac{\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)^2}{4}.\)

Do đó ta có \(1^3+2^3+\cdots+\left(n+1\right)^3=\frac{\left(n+1\right)^2\left(n+2\right)^2}{4}=\left(1+2+\cdots+n+\left(n+1\right)\right)^2\)

giúp mình với !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Câu b, bài b1 chứng minh \(a=2^{2006}-1?\)

1/ \(3-4\sin^2=4\cos^2x-1\Leftrightarrow4\left(\sin^2x+\cos^2x\right)-4=0\Leftrightarrow4.1-4=0\left(ld\right)\Rightarrow dpcm\)

2/ \(\cos^4x-\sin^4x=\left(\cos^2x+\sin^2x\right)\left(\cos^2x-\sin^2x\right)=\cos^2x-\left(1-\cos^2x\right)=2\cos^2x-1=\left(1-\sin^2x\right)-\sin^2x=1-2\sin^2x\)

3/ \(\sin^4x+\cos^4x=\left(\sin^2x+\cos^2x\right)^2-2\sin^2x.\cos^2x=1-2\sin^2x.\cos^2x\)

1.

a.\(A=1+2^1+2^2+2^3+...+2^{2007}\)

\(2A=2+2^2+2^3+....+2^{2008}\)

b. \(A=\left(2+2^2+2^3+...+2^{2008}\right)-\left(1+2^1+2^2+..+2^{2007}\right)\)

\(=2^{2008}-1\) (bạn xem lại đề)

2.

\(A=1+3+3^1+3^2+...+3^7\)

a. \(2A=2+2.3+2.3^2+...+2.3^7\)

b.\(3A=3+3^2+3^3+...+3^8\)

\(2A=3^8-1\)

\(=>A=\dfrac{2^8-1}{2}\)

3

.\(B=1+3+3^2+..+3^{2006}\)

a. \(3B=3+3^2+3^3+...+3^{2007}\)

b. \(3B-B=2^{2007}-1\)

\(B=\dfrac{2^{2007}-1}{2}\)

4.

Sửa: \(C=1+4+4^2+4^3+4^4+4^5+4^6\)

a.\(4C=4+4^2+4^3+4^4+4^5+4^6+4^7\)

b.\(4C-C=4^7-1\)

\(C=\dfrac{4^7-1}{3}\)

5.

\(S=1+2+2^2+2^3+...+2^{2017}\)

\(2S=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2018}\)

\(S=2^{2018}-1\)

4:

a:Sửa đề: C=1+4+4^2+4^3+4^4+4^5+4^6

=>4*C=4+4^2+...+4^7

b: 4*C=4+4^2+...+4^7

C=1+4+...+4^6

=>3C=4^7-1

=>\(C=\dfrac{4^7-1}{3}\)

5:

2S=2+2^2+2^3+...+2^2018

=>2S-S=2^2018-1

=>S=2^2018-1