Chọn C

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là y =6x +13 .

Phương pháp trắc nghiệm:

Tại điểm cực trị của đồ thị hàm số phân thức ,

ta có: f ( x ) g ( x ) = f ' ( x ) g ' ( x )

Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là

.

Lời giải:

Ta có \(y'=3x^2-6mx+3(m+6)=0\) có hai nghiệm $x_1,x_2$ chính là hoành độ hai cực trị của đồ thị hàm số. Theo hệ thức Viet:

\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m\\ x_1x_2=m+6\end{matrix}\right.(1)\)

Gọi đường thẳng qua hai điểm cực trị có PT \((d):y=ax+b\)

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} y_1=ax_1+b=x_1^3-3mx_1^2+3(m+6)x_1+1\\ y_2=ax_2+b=x_2^3-3mx_2^2+3(m+6)x_2+1\end{matrix}\right.\)

Dựa vào $(1)$ và biến đổi đơn giản:

\(\Rightarrow a(x_1-x_2)=(x_1-x_2)[x_1^2+x_1x_2+x_2^2-3m(x_1+x_2)+3(m+6)]\)

\(\Rightarrow a=x_1^2+x_1x_2+x_2^2-3m(x_1+x_2)+3(m+6)=-2m^2+2m+12\)

\(\Rightarrow 2b=y_1+y_2-a(x_1+x_2)=2m^2+12m+2\Rightarrow b=m^2+6m+1\)

Do đó PTĐT thu được: \((d):y=(-2m^2+2m+12)x+m^2+6m+1\)

Đáp án D

Giải phương trình y ' = 0  ta thu được hai nghiệm x=1 và x=3

Tại x= 1 ⇒ y= 2 ; tại x= 3 ⇒ y=  -2

Suy ra hai điểm cực trị là A(1,2) và B(3, -2)

Từ đây ta dễ dàng viết được phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị A và B là y = -2x + 4. ⇒  Chọn đáp án D