Trước hết, ta xác định thiết diện của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ khi cắt bởi mp (CEF). Mặt phẳng (CEF) chứa đường thẳng EF mà E là trung điểm của BB’, F là trung điểm của cơ nên EF chứa giao điểm O của các đường chéo hình hộp, do đó mặt phẳng (CEF) cùng chứa giao điểm O của các đường chéo và nó cũng chứa đường chéo A’C của hình hộp. Ta dễ dàng nhận xét rằng thiết diện chính là hình bình hành CEA’F. Qua EF ta dựng một mặt phẳng song song với đáy hình hộp, mặt phẳng này cắt AA’ ở p và cắt CC’ ở Q.

ta có thể tích của hình hộp ABCD.PEQF là: VABCD.PEQF =1/2 VABCD.A’B’C’D’ (1)

Ta cũng chứng minh được một cách dễ dàng: VCFQE = VA’FPE (2) (Hai hình chóp CFQE và A’FPE có chiều cao bằng nhau và diện tích đáy bằng nhau).

Xét khối đa diện ABCDE’F do mặt phẳng (CEF) chia ra trên hình hộp p ABCD.A’B’C’D ta có: VABCD.FA’EQ = VABCD.FPE +VA’FPE (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: VABCD.FA’EQ = 1/2 VABCD.A’B’C’D’ Vậy mặt phẳng (CEF) chia hình hộp thành hai khối đa diện có thể tích bằng nhau, tỉ số của chúng là 1. Chú ý: Có thể lí luận như sau: Giao điểm O của các đường chéo của hình hộp là tâm đối xứng của hình hộp, do đó mặt phẳng (CEF) chứa điểm o nên chia hình hộp thành hai hình đối xứng với nhau qua điểm o. Vậy hai hình này là hai hình bằng nhau và có thể tích bằng nhau.

Giả sử (AEF) cắt CC’ tại I. Khi đó ta có AE// FI, AF // EI nên tứ giác AEIF là hình bình hành. Trên cạnh CC’ lấy điểm J sao cho CJ = DF. Vì CJ song song và bằng DF nên JF song song và bằng CD. Do đó tứ giác CDFJ là hình chữ nhật. Từ đó suy ra FJ song song và bằng AB. Do đó AF song song và bằng BJ. Vì AF cũng song song và bằng EI nên BJ song song và bằng EI.

Từ đó suy ra IJ = EB = DF = JC = c/3

Ta có

Nên V H = V A . BCIE + V A . DCIF

Vì thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ bằng abc nên

Từ đó suy ra 

Phương pháp:

- Dựng thiết diện cắt bởi (AB 'M) với hình hộp.

- Sử dụng phương pháp cộng trừ thể tích khối đa diện suy ra các tỉ số thể tích.

Cách giải:

Dựng thiết diện cắt bởi (AB 'M) với hình hộp như hình vẽ.

Ta có: 

Đặt thể tích 

Mà 

Lại có 

Đáp án A

Chuẩn hóa hình hộp đã cho là hình lập phương cạnh a.

Dựng M K / / A B ' / / C ' D

Khi đó thiết diện là tứ giác

Ta có: V 1 = 1 3 h S 1 + S 1 S 2 + S 2

Trong đó h = H B = a ' S 1 = S B M K = a 2 8 ; S 2 = S C ' D C = a 2 2

Do đó V 1 = 7 24 a 3 ⇒ V 2 = a 3 − V 1 = 17 24 a 3

Vậy  V 1 V 2 = 7 17

Đáp án B

Giả sử (P) cắt AA', BB'

Giả sử đường thẳng EF cắt đường thẳng A’B’ tại I và cắt đường thẳng A’D’ tại J. AI cắt BB’ tại L, AJ cắt DD’ tại M. Gọi V0 là thể tích khối tứ diện AA’IJ. V là thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’

Vì EB’ = EC’ và B’I // C’F

nên IB′ = FC′ = 

Do đó 

Để ý rằng BE’ // A’J , B’L // AA’

Ta có

Từ đó suy ra:

Do đó 

Tương tự 

Gọi AB = a, BC = b , đường cao hạ từ A xuống (A’B’C’D’) là h thì

V = V ABCD . A ' B ' C ' D '  = h a b . sin ∠ BAD

Vậy

Chọn đáp án C.

là đường thẳng đi qua M, song song với AC và cắt BC tại trung điểm N của cạnh BC.

Gọi h là độ dài chiều cao của hình hộp đã cho. Khi đó: