Áp dụng \(x^2+y^2\ge2xy\)

\(\Rightarrow\left(a^{1009}\right)^2+\left(b^{1009}\right)^2\ge2a^{1009}b^{1009}\)

\(\Rightarrow2a^{2018}b^{2018}\ge2a^{1009}b^{1009}\)

\(\Leftrightarrow2a^{1009}b^{1009}\left(1-ab\right)\le0\)

\(\Rightarrow0\le ab\le1\) \(\Rightarrow1-ab\ge0\)

\(\Rightarrow P=2018\left(1-ab\right)\ge0\)

Nhận xét 

- với x >= 0 thì |x|+x = 2x 

- với x < 0 thì |x|+x = 0

Do đó |x|+x luôn chẵn với mọi x

Áp dụng nhận xét trên thì |n-2018|+n-2018 luôn chẵn với mọi n-2018

=>2^m+2019 chẵn => 2^m lẻ <=> m = 0 

Khi đó |n-2018|+n-2018=2020

- Nếu n < 2018, ta có: -(n-2018)+n-2018 = 2020 <=> 0 = 2020 (vô lí)

- Nếu n >= 2018, ta có: n-2018+n-2018 = 2020 <=> 2(n-2018) = 2020 <=> n-2018=1010 <=> n=3028

Vậy m=0,n=3028

Ta có:\(\left|n-2018\right|=n-2018\Leftrightarrow n-2018\ge0\Leftrightarrow n\ge2018\)

         \(\left|n-2018\right|=2018-n\Leftrightarrow n-2018< 0\Leftrightarrow n< 2018\)

Với \(n\ge2018\)thì (1) trở thành:

\(2^m+2019=n-2018+n-2018\)

\(\Rightarrow2^m+2019=2n-4036\)

với m>0 \(\Rightarrow2^m+2019\)và \(2n-4036\)khác tính chẵn lẻ nên không có m,n thỏa mãn

với m=0 \(\Rightarrow1+2019=2\left(n-2018\right)\)

\(\Rightarrow1010=n-2018\)

\(\Rightarrow n=3028\)

Với \(n< 2018\) thì (1) trở thành:

\(2^m+2019=2018-n+n-2018\)

\(\Rightarrow2^m+2019=0\)

\(\Rightarrow2^m=-2019\)(vô lý)

Vậy..................

Ta có: \(a^{2017}+b^{2017}\)= \(2a^{^{ }1018}.b^{1018}\)

⇔ (a²⁰¹⁷ + b²⁰¹⁷)² = 4(ab)²⁰¹⁸

Lại có: (a²⁰¹⁷ + b²⁰¹⁷)² ≥ 4a²⁰¹⁷.b²⁰¹⁷

⇒ 4(ab)²⁰¹⁶ ≥ 4a²⁰¹⁷.b²⁰¹⁷

⇒ ab²⁰¹⁶ ≥ ab²⁰¹⁷

⇒ ab ≤ 1

⇒ 1 - ab ≥ 0

⇒ 2018 - 2018ab ≥ 0