Theo định lý Viéte kết hợp với giả thiết ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}>0\\x_1x_2=\frac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab< 0\\ac>0\end{matrix}\right.\)

Ta cần chứng minh: \(\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=\frac{-b}{c}>0\\x_3x_4=\frac{a}{c}>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}bc< 0\\ac>0\end{matrix}\right.\) (*)

TH1: \(a>0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c>0\\b< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) (*) luôn đúng

TH2: \(a< 0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c< 0\\b>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) (*) luôn đúng

Ta có đpcm.

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(x_1+x_2+x_3+x_4\ge4\sqrt[4]{x_1x_2x_3x_4}=4\sqrt[4]{\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{c}}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x_1=x_2=x_3=x_4\) \(\Leftrightarrow a=c\)

\(ax^2+bx+c=0\) (1) có 2 nghiệm dương \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta=b^2-4ac\ge0\\x_1+x_2=-\frac{b}{a}>0\\x_1x_2=\frac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\)

Xét \(cx^2+bx+a=0\) (2)

\(\Delta=b^2-4ac\ge0\Rightarrow\left(2\right)\) có 2 nghiệm

\(\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=-\frac{b}{c}\\x_3x_4=\frac{a}{c}>0\end{matrix}\right.\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}-\frac{b}{a}>0\\\frac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(-\frac{b}{a}\right):\left(\frac{c}{a}\right)>0\Rightarrow-\frac{b}{c}>0\)

\(\Rightarrow\) (2) cũng có 2 nghiệm dương

Do \(\left\{{}\begin{matrix}-\frac{b}{a}>0\\\frac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a;c\) cùng dấu và trái dấu b

Ko mất tính tổng quát, giả sử \(a;c>0\) và \(b< 0\) ; đặt \(d=-b>0\)

\(\Rightarrow d^2\ge4ac\Rightarrow d\ge2\sqrt{ac}\)

\(A=x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a}-\frac{b}{c}=\frac{d}{a}+\frac{d}{c}=d\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)

\(A\ge2d\sqrt{\frac{1}{ac}}\ge2.2\sqrt{ac}.\sqrt{\frac{1}{ac}}=4\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=c=\frac{1}{2}d\) hay \(a=c=-\frac{1}{2}b\)

CÁI BÀI NÀY CÂU HỎI LÀ LÀM GÌ VẬY ĐỌC KO HỈU LẮM

phantuananh mk cũng bị cái câu hỏi làm cho @@ ùi

x1 là nghiệm pt 

=> \(ax1^2+bx1+c=0\)

<=> \(a+b\cdot\frac{1}{x1}+c\cdot\left(\frac{1}{x1}\right)^2=0\Leftrightarrow ct1^2+bt1+a=0\) ( t1 = 1/x1) 

Xet \(x1+t1=x1+\frac{1}{x1}\ge2\) ( BĐT cô - si , x1 > 0 ) 

\(PT:ax^2+bx+c=0\) (1) có 2 nghiệm pb  có dúng 1 nghiệm dương(x1)  => ac<0 ; \(\sqrt{\Delta}=b^2-4ac>0\)

\(PT:ct^2+bt+a=0\) (2) có ac<0 => \(\sqrt{\Delta}=b^2-4ac>0\) (theo trên) => (2) cũng có 2 nghiệm pb ,trái dấu ( 1 dương = t1 )

ta có :  x1>0 ; t1 >0  nên : 

          +   \(x_1.t_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2c}=\frac{4ac}{4ac}=1\left(Neusa>0;c<0\right)\)

           +  \(x_1.t_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}.\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2c}=\frac{4ac}{4ac}=1\left(Neusa<0;c>0\right)\)

=> \(x_1+t_1\ge2\sqrt{x_1.t_1}=2\)

C

vì 1 là 1 nghiệm của f(x) nên a*1²+b*1+c=0 hay a+b+c=0

ta có g(1)=c*1²+b*1+a=a+b+c=0

vậy 1 là 1 nghiệm của g(x)

Bạn nào tốt bụng giúp mk nào!

a) ax^2 + bx + c = 0 Để phương trình thỏa mãn điều kiện có 2 nghiệm dương phân biệt. ∆ > 0 => b^2 - 4ac > 0 x1 + x2 = -b/a > 0 => b và a trái dấu x1.x2 = c/a > 0 => c và a cùng dấu Từ đó ta xét phương trình cx^2 + bx^2 + a = 0 ∆ = b^2 - 4ac >0 x3 + x4 = -b/c, vì a và c cùng dấu mà b và a trái dấu nên b và c trái dấu , vì vậy -b/c >0 x3.x4 = a/c, vì a và c cùng dấu nên a/c > 0 => phương trình cx^2 + cx + a có 2 nghiệm dương phân biệt x3 và x4 Vậy nếu phương trình ax^2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt thì phương trình cx^2 + bx + a = 0 cũng có 2 nghiệm dương phân biệt. b) Ta có, vì x1, x2, x3, x4 không âm, dùng cô si. x1 + x2 ≥ 2√( x1.x2 ) x3 + x4 ≥ 2√( x3x4 ) => x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 2[ √( x1.x2 ) + √( x3x4 ) ] (#) Tiếp tục côsi cho 2 số không âm ta có √( x1.x2 ) + √( x3x4 ) ≥ 2√[√( x1.x2 )( x3.x4 ) ] (##) Theo a ta có x1.x2 = c/a x3.x4 = a/c => ( x1.x2 )( x3.x4 ) = 1 => 2√[√( x1.x2 )( x3.x4 ) ] = 2 Từ (#) và (##) ta có x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 4