Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Cao Chu Thiên Trang

Giả sử pt ax2+bx +c =0

Có 2 nghiệm x1,x2 dương.Cm rằng pt

cx2 + bx +a =0

Cũng có 2nghiệm x3,x4 dương. Cm rằng x1+x2+x3+x4 lớn hơn hoặc bằng 4

HELP ME

Trần Thanh Phương
8 tháng 5 2020 lúc 19:00

Theo định lý Viéte kết hợp với giả thiết ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{-b}{a}>0\\x_1x_2=\frac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab< 0\\ac>0\end{matrix}\right.\)

Ta cần chứng minh: \(\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=\frac{-b}{c}>0\\x_3x_4=\frac{a}{c}>0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}bc< 0\\ac>0\end{matrix}\right.\) (*)

TH1: \(a>0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c>0\\b< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) (*) luôn đúng

TH2: \(a< 0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}c< 0\\b>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) (*) luôn đúng

Ta có đpcm.

Áp dụng BĐT Cauchy:

\(x_1+x_2+x_3+x_4\ge4\sqrt[4]{x_1x_2x_3x_4}=4\sqrt[4]{\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{c}}=4\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x_1=x_2=x_3=x_4\) \(\Leftrightarrow a=c\)

Nguyễn Việt Lâm
8 tháng 5 2020 lúc 18:56

\(ax^2+bx+c=0\) (1) có 2 nghiệm dương \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a\ne0\\\Delta=b^2-4ac\ge0\\x_1+x_2=-\frac{b}{a}>0\\x_1x_2=\frac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\)

Xét \(cx^2+bx+a=0\) (2)

\(\Delta=b^2-4ac\ge0\Rightarrow\left(2\right)\) có 2 nghiệm

\(\left\{{}\begin{matrix}x_3+x_4=-\frac{b}{c}\\x_3x_4=\frac{a}{c}>0\end{matrix}\right.\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}-\frac{b}{a}>0\\\frac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(-\frac{b}{a}\right):\left(\frac{c}{a}\right)>0\Rightarrow-\frac{b}{c}>0\)

\(\Rightarrow\) (2) cũng có 2 nghiệm dương

Do \(\left\{{}\begin{matrix}-\frac{b}{a}>0\\\frac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a;c\) cùng dấu và trái dấu b

Ko mất tính tổng quát, giả sử \(a;c>0\)\(b< 0\) ; đặt \(d=-b>0\)

\(\Rightarrow d^2\ge4ac\Rightarrow d\ge2\sqrt{ac}\)

\(A=x_1+x_2+x_3+x_4=-\frac{b}{a}-\frac{b}{c}=\frac{d}{a}+\frac{d}{c}=d\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)

\(A\ge2d\sqrt{\frac{1}{ac}}\ge2.2\sqrt{ac}.\sqrt{\frac{1}{ac}}=4\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=c=\frac{1}{2}d\) hay \(a=c=-\frac{1}{2}b\)


Các câu hỏi tương tự
Sukem tv cute
Xem chi tiết
Lê Hải Yến
Xem chi tiết
Lê Hải Yến
Xem chi tiết
ngô thị kiều trang
Xem chi tiết
Ly Po
Xem chi tiết
Phúc Nguyễn
Xem chi tiết
Nguyễn Xuân Thành
Xem chi tiết
HD Film
Xem chi tiết
diem pham
Xem chi tiết