Gọi m, n là hai giá trị thực thỏa mãn: giao tuyến của hai mặt phẳng ( P m ): mx + 2y + nz +1 = 0 và ( Q m ) : x -my + nz + 2 = 0 vuông góc với mặt phẳng ( α ): 4x - y - 6z + 3 = 0 . Tính m + n.
A. m + n = 3
B. m + n = 2
C. m + n = 1
D. m + n = 0
Gọi m, n là hai giá trị thực thỏa mãn: giao tuyến của hai mặt phẳng (Pm ): mx + 2y + nz +1 = 0 và (Qm ) : x -my + nz + 2 = 0 vuông góc với mặt phẳng ( α ): 4x - y - 6z + 3 = 0 . Tính m + n.
A. m + n = 3
B. m + n = 2
C. m + n = 1
D. m + n = 0
Chọn A
Sử dụng tính chất: Nếu đường thẳng a vuông góc mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng qua a đều vuông góc
(P) để nhận xét mối quan hệ giữa các mặt phẳng
Ta có:
Do đó
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x - 2y - z + 3 = 0,
(Q): 2x + y + z - 1 = 0. Mặt phẳng (R) đi qua điểm M(1;1;1) và chứa
giao tuyến của (P) và (Q).
Phương trình của (R): m.(x - 2y - z + 3) + (2x + y + z -1) = 0. Khi đó giá trị của m là
A. 3
B. 1 3
C. -1
D. -3
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x - 2y - z + 3 =0, (Q): 2x + y + z - 1= 0, . Mặt phẳng R đi qua điểm M(1;1;1) và chứa giao tuyến của (P) và (Q); phương trình của (R): m.(x-2y-z+3) + (2x+y+z-1). Khi đó giá trị của m là
A. 3
B. 1 3
C. - 1 3
D. 3
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình là mx + y - 3z + 1 = 0; 4x - 2y + ( n 2 + n)z - n = 0, trong đó m và n là hai tham số. Với những giá trị nào của m và n thì hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau
A. m=-2 và n=2
B. m=2 và n=-3
C. m=-2 và n=2 hoặc n=-3
D. m=-2 và n=-3
Đáp án D
Hai mặt phẳng đã cho song song khi và chỉ khi tồn tại một số thực k sao cho:
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng α : x-my +z +6m+3=0 và β : mx +y -mz +3m -8= 0 (với m là tham số thực); hai mặt phẳng này cắt nhau theo giao tuyến là đuờng thẳng ∆ Gọi ∆ ' là hình chiếu của ∆ lên mặt phẳng Oxy. Biết rằng khi m thay đổi thì đường thẳng ∆ ' luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định có tâm I (a;b;c) thuộc mặt phẳng Oxy. Tính giá trị biểu thức P = 10 a 2 - b 2 + 3 c 2
A. P =56
B. P = 9
C. P = 41
D. P = 73
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng α có phương trình. 2 x + 2 y − z − 8 = 0. Xét mặt cầu S : x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − z + m = 0 , với m là tham số thực. Biết mặt phẳng α cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn (C) có bán kính bằng 2. Tìm tất cả các giá trị của m thỏa mãn điều kiện trên.
A. m = − 18
B. m = 21 4
C. m = 27 2
D. m = − 11
Đáp án D
S : x − 1 2 + y + 2 2 + z − 1 2 2 = 21 4 − m ⇒ I 1 ; − 2 ; 1 2 ; R 2 = 21 4 − m
Do đó:
d = d I ; P = 2 − 4 − 1 2 − 8 3 = 7 2 ⇒ R 2 = 2 2 + 7 2 2 ⇒ m = − 11
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-2;1;5) và hai mặt phẳng (P): 2x + y + 3z - 7 = 0, (Q): 3x - 2y - z + 1 = 0. Gọi M là điểm nằm trên mặt phẳng (P) và điểm N nằm trên mặt phẳng (Q) thỏa mãn A M → = 2 A N → . Khi M di động trên mặt phẳng (P) thì quỹ tích điểm N là một đường thẳng có phương trình là
A. x = - 3 - 5 t y = - 1 + 11 t z = 6 - 7 t
B. x = 1 + 7 t y = - 8 - 5 t z = 6 - 7 t
C. x = 7 + 11 t y = - 8 - 5 t z = - 8 - 7 t
D. x = 2 + 5 t y = 3 + 11 t z = - 1 - 7 t
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 4x - 6y + m = 0 và đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x + 2y - 2z - 4 = 0 và (β): 2x - 2y - z + 1 = 0. Đường thẳng Δ cắt mặt cầu (S) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn AB = 8 khi:
A. m = 12
B. m = -12
C. m = -10
D. m = 5
Chọn B
Phương trình (S): x2 + y2 + z2 + 4x - 6y + m = 0 là phương trình mặt cầu <=> m < 13
Khi đó (S) có tọa độ tâm I (-2;3;0) bán kính
Gọi M (x;y;z) là điểm bất kỳ thuộc Δ.
Tọa độ M thỏa mãn hệ:
Đặt y = t ta có:
=> Δ có phương trình tham số:
Δ đi qua điểm N (-2; 0; -3) và có vectơ chỉ phương
Giả sử mặt cầu (S) cắt Δ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8. Gọi (C) là đường tròn lớn chứa đường thẳng Δ. Khi đó IC2 = R2 - AC2 = 13 - m - 42 = -m - 3
N (0;-3;-3)
Vậy mặt cầu (S) cắt Δ tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB = 8
<=> -m - 3 = 9 <=> m = -12
Cho hai số thực x, y thỏa mãn 0 ≤ x ≤ 1 2 , 0 ≤ y ≤ 1 2 và log 11 - 2 x - y = 2 y + 4 x - 1 Xét biểu thức Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của P. Khi đó giá trị của T=4m+M bằng bao nhiêu?
A. 16
B. 18.
C. 17.
D. 19.