a.

Do AB là đường kính \(\Rightarrow\widehat{AMB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\widehat{AMB}=90^0\Rightarrow\Delta AMB\) vuông tại M

b.

\(\widehat{AMK}=180^0-\widehat{AMB}=90^0\Rightarrow\Delta AMK\) vuông tại M

\(\Rightarrow MD\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền

\(\Rightarrow MD=AD\)

Xét hai tam giác OAD và OMD có: \(\left\{{}\begin{matrix}OA=OM=R\\AD=MD\left(cmt\right)\\OD\text{ chung}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta OAD=\Delta OMD\left(c.c.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OMD}=\widehat{OAD}=90^0\)

\(\Rightarrow DM\) là tiếp tuyến của (O).

c.

E là giao điểm 2 tiếp tuyến tại B và M \(\Rightarrow EM=EB\)

Mà \(OM=OB=R\Rightarrow OE\) là trung trực BM

\(\Rightarrow OE\) đồng thời là phân giác \(\widehat{BOM}\) hay \(\widehat{MOE}=\dfrac{1}{2}\widehat{BOM}\)

Tương tự ta có OD là phân giác \(\widehat{AOM}\Rightarrow\widehat{DOM}=\dfrac{1}{2}\widehat{AOM}\)

\(\Rightarrow\widehat{MOE}+\widehat{DOM}=\dfrac{1}{2}\left(\widehat{BOM}+\widehat{AOM}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DOE}=\dfrac{1}{2}.180^0=90^0\)
Hay tam giác DOE vuông tại O

Áp dụng hệ thức lượng với đường cao OM:

\(DM.ME=OM^2\Leftrightarrow AD.BE=R^2\)

a) Vì BD là đường kính \(\Rightarrow\angle BED=90\)

Vì MB,MA là tiếp tuyến \(\Rightarrow\Delta MAB\) cân tại M và MO là phân giác \(\angle AMB\)

\(\Rightarrow MO\bot AB\Rightarrow\angle MHB=90\)

Ta có: \(\angle MHB=\angle MEB=90\Rightarrow MEHB\) nội tiếp

Xét \(\Delta MAE\) và \(\Delta MDA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MAE=\angle MDA\\\angle DMAchung\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta MAE\sim\Delta MDA\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{MA}{ME}=\dfrac{MD}{MA}\Rightarrow MA^2=MD.ME\)

b) MEHB nội tiếp \(\Rightarrow\angle MHE=\angle MBE=\angle MDB\)

Vì \(\Delta MBD\) vuông tại B có \(MB=BD=2R\Rightarrow\Delta MBD\) vuông cân tại B

\(\Rightarrow\angle MDB=45\Rightarrow\angle MHE=45\)

c) Xét \(\Delta MOB\) và \(\Delta BAF:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle MBO=\angle BFA=90\\\angle BOM=\angle BAF=\dfrac{1}{2}\angle BOA\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta MOB\sim\Delta BAF\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AF}{AB}=\dfrac{OB}{MO}=\dfrac{OD}{MO}\left(1\right)\)

Vì \(\Delta MBD\) vuông cân tại B có \(BE\bot MD\Rightarrow\angle EBD=45\)

mà \(\Delta BFK\) vuông tại F \(\Rightarrow\Delta BFK\) vuông cân tại F \(\Rightarrow\angle BKF=45\)

Xét \(\Delta BAK\) và \(\Delta MOD:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle ABK=\angle DOM\left(MEHBnt\right)\\\angle BKA=\angle MDO=45\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta MOD\sim\Delta BAK\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{OD}{MO}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AF}{AB}\Rightarrow AK=AF\Rightarrow\) đpcm

Đáp án C

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M k x k ; y k là  y = y k = y ' x k x - x k

⇔ y = y ' x k x - x k + y k = 3 x k 2 - 2018 x - x k + x k 3 - 2018 x k     ( d )  

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và tiếp tuyến (d) là

x 3 - 2018 x = 3 x k 2 - 2018 x - x k + x k 3 - 2018 x k ⇔ x - x k x 2 + x k x - 2 x k 2 = 0 ⇔ [ x = x k x = - 2 x k  Do đó x k + 1 = - 2 x k  suy ra x 1 = 1 ; x 2 = - 2 ; x 3 = 4 ; . . . ; x n = ( - 2 ) n - 1 ( cấp số nhân với q = -2)

Vậy  2018 x n + y n + 2 2019 = 0 ⇔ x n 3 = - 2 2019 ⇔ - 2 3 n - 3 = - 2 2019 ⇒ n = 674

Chọn đáp án B

Ta có y ' = 3 x 2 - 11 . Giả sử M m ; m 3 - 11 m  thì tiếp tuyến  ∆ của (C) tại điểm M có hệ số góc là k = y ' m = 3 m 2 - 11  

Phương trình ∆ : y = 3 m 2 - 11 x - 2 m . 

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng  ∆  là:

Suy ra hoành độ các điểm M_n lập thành một cấp số nhân (x_n) có số hạng đầu x 1 = - 2  và công bội q = -2.

Ta có x n = x 1 . q n - 1 = - 2 n  

.

Để  11 x n + y n + 2 2019 = 0

⇔ 3 n = 2019 ⇔ n = 673

Chọn D.

Đáp án là B

Đáp án là B