-Để mình suy nghĩ ngồi làm cho bạn nhé.

-Vì bài dài quá nên mình nói tóm tắt:

a) -Bạn chứng minh △ABM = △BCN (g-c-g) do có \(AB=BC\) , \(\widehat{BCN}=\widehat{ABM}=90^0\),\(\widehat{NBC}=\widehat{MAB}\) (bạn tự chứng minh).

-Suy ra: \(BM=CN\) .

-Suy ra 2 điều:

+\(QM^2-BQ^2=MN^2-MC^2\)

+\(QM+BQ=MN+MC\) (1)

\(QM^2-BQ^2=MN^2-MC^2\)

\(\Rightarrow\left(QM-BQ\right)\left(QM+BQ\right)=\left(MN-MC\right)\left(MN+MC\right)\)

\(\Rightarrow QM-BQ=MN-MC\) (2)

-Từ (1),(2) suy ra \(QM=MN\) nên △BMQ=△CNM (ch-cgv).

\(\Rightarrow\) MQ vuông góc với MN (bạn tự c/m).

\(QM=MN\) nên \(BQ=MC\) nên \(AQ=BM\Rightarrow PQ^2-AP^2=QM^2-BQ^2;QM+BQ=PQ+AP\)

Nên \(PQ=QM;\Delta APQ=\Delta BQM\) nên PQ⊥QM ; AP=BQ nên PQ=AQ

-Từ PQ=AQ bạn tự c/m PN=PQ (theo sườn mình đã cho) rồi sau đó c/m tam giác APQ=tam giác DNP rồi từ đó suy ra PQ vuông góc PN

.......

-Sao bạn đăng bài lớp 8 rồi đăng bài lớp 9 vậy?

Với p = 2 => 8p²  +1 = 33 (loại)

Với p = 3 => 8p² + 1 = 73 (tm)

Với p > 3 => Đặt p = 3k + 1 ; p = 3k + 2 (k \(\in Z^+\)) 

Với p = 3k + 1 => 8p² + 1 = 8(3k + 1)² + 1 

= 72k² + 48k + 9 = 3(24k² + 16k + 3) \(⋮3\)(loại)

Với p = 3k + 2 => 8p² + 1 = 8(3k + 2)² + 1 

= 72k² + 96k + 33 = 3(24k² + 32k + 11) \(⋮3\)(loại)

Vậy p = 3 thì 8p² + 1 \(\in P\)

- Với \(p=2\) ko thỏa mãn

- Với \(p=3\Rightarrow8p^2+1=73\) là số nguyên tố (thỏa mãn)

- Với \(p>3\Rightarrow p^2\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow p^2=3k+1\)

\(\Rightarrow8p^2+1=8\left(3k+1\right)+1=24k+9=3\left(8k+3\right)\) là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3

\(\Rightarrow8p^2+1\) là hợp số (ktm)

Vậy \(p=3\) là SNT duy nhất thỏa mãn yêu cầu

Nếu p;q;r đều lẻ hoặc có đúng 1 số trong 3 số là lẻ \(\Rightarrow p^2+q^2+r^2\) lẻ, trong khi 5054 chẵn (ktm)

\(\Rightarrow\) Cả p;q;r đều chẵn (loại do \(2^2+2^2+2^2< 5054\)) hoặc có đúng 1 số trong 3 số là chẵn

Do vai trò 3 số như nhau, ko mất tính tổng quát, giả sử r chẵn \(\Rightarrow r=2\)

\(\Rightarrow p^2+q^2=5050\)

Nếu p; q đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow p=q=3\Rightarrow ktm\)

Nếu p;q đều ko chia hết cho 3 \(\Rightarrow p^2\) và \(q^2\) đều chia 3 dư 1

\(\Rightarrow p^2+q^2\) chia 3 dư 2 trong khi \(5050\) chia 3 dư 1 (ktm)

\(\Rightarrow\) Có đúng 1 số trong p; q chia hết cho 3, ko mất tính tổng quát, giả sử là p \(\Rightarrow p=3\)

\(\Rightarrow q^2=5050-9=5041\Rightarrow q=71\) là SNT (thỏa mãn)

Vậy bộ 3 số nguyên tố thỏa mãn là \(\left(2;3;71\right)\) và các hoán vị

Vì tổng của p² + q² + r² \(⋮2\)

=> \(\left[{}\begin{matrix}p⋮2\\q⋮2\\r⋮2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}p=2\\q=2\\r=2\end{matrix}\right.\); 

Giả sử r = 2 => p² + q² = 5050 ; p;q lẻ 

=> Chữ số tận cùng p² chỉ có thể là 9;1

=> Chư số tận cùng p là 1;3;7;9

mà p² + q² = 5050 => q² \(< 5050\) ; p² < 5050

<=> q < 72 (1) ; p < 72 (2) 

Lại có p² + q² = 5050

<=> 2pq = 5050 - (p - q)² < 5050

<=> pq \(< 2525\) (3)

Từ (1) ; (3) => p >  35 (4)

Từ (2) ; (4) => 35 < p < 72

<=> p \(\in\left\{37;41;43;47;53;59;61;67;71\right\}\)

Thử từng giá trị p => tìm được p = 71 thỏa mán 

thay vào pt gốc được q = 3 (tm)

Vậy các cặp (p;q;r) thỏa là (71;3;2) và các hoán vị 

Giả sử p<q<r.

Số 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất.

Số lẻ có dạng 2k+1 (k\(\in\)N), bình phương của số lẻ là (2k+1)²=4k²+4k+1 là một số lẻ.

Mà p²+q²+r² là một số chẵn (=5054), suy ra p=2.

q²+r²=5050 \(\Rightarrow\) q²<2525 \(\Rightarrow\) 3\(\le\)q<50.

Với q=3 \(\Rightarrow\) r=71 (nhận).

Vậy ba số nguyên tố cần tìm là 2, 3 và 71.

Đặt \(a=p^q+7q^p\)

Nếu p; q đều bằng 2 \(\Rightarrow a=2^2+7.2^2\) là hợp số (ktm)

Nếu p; q cùng lớn hơn 2 \(\Rightarrow p^q\) và \(q^p\) đều lẻ

\(\Rightarrow a=p^q+7q^p\) là số chẵn lớn hơn 2 \(\Rightarrow\) là hợp số (ktm)

\(\Rightarrow\) Có đúng 1 số trong p; q phải bằng 2, số còn lại là SNT lẻ

TH1: \(p=2\Rightarrow a=2^q+7.q^2\)

- Nếu \(q=3\Rightarrow a=2^3+7.3^2=71\) là SNT (thỏa mãn)

- Nếu \(q>3\Rightarrow q^2\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow7q^2\equiv1\left(mod3\right)\)

\(2^q=2^{2k+1}=2.4^k\equiv2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow a=2^q+7.q^2\equiv2+1\left(mod3\right)\Rightarrow a⋮3\) là hợp số (ktm)

TH2: \(q=2\Rightarrow a=p^2+7.2^p\)

- Nếu \(p=3\Rightarrow a=3^2+7.2^3=65\) ko phải SNT (ktm)

- Nếu \(p>3\Rightarrow p^2\equiv1\left(mod3\right)\)

\(7.2^p=7.2^{2k+1}=14.4^k\equiv2\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow p^2+7.2^p⋮3\) là hợp số (ktm)

Vậy \(\left(p;q\right)=\left(2;3\right)\) là cặp SNT duy nhất thỏa mãn yêu cầu