Question

Tìm tất cả các số nguyên tố \(p\)   sao cho  \(8.p^2+1\) là số nguyên tố
P/s:  Em xin phép nhờ quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán hỗ trợ giúp đỡ em với ạ!
Em cám ơn nhiều ạ!

Answer 1

Với p = 2 => 8p²  +1 = 33 (loại)

Với p = 3 => 8p² + 1 = 73 (tm)

Với p > 3 => Đặt p = 3k + 1 ; p = 3k + 2 (k \(\in Z^+\)) 

Với p = 3k + 1 => 8p² + 1 = 8(3k + 1)² + 1 

= 72k² + 48k + 9 = 3(24k² + 16k + 3) \(⋮3\)(loại)

Với p = 3k + 2 => 8p² + 1 = 8(3k + 2)² + 1 

= 72k² + 96k + 33 = 3(24k² + 32k + 11) \(⋮3\)(loại)

Vậy p = 3 thì 8p² + 1 \(\in P\)

Answer 2

- Với \(p=2\) ko thỏa mãn

- Với \(p=3\Rightarrow8p^2+1=73\) là số nguyên tố (thỏa mãn)

- Với \(p>3\Rightarrow p^2\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow p^2=3k+1\)

\(\Rightarrow8p^2+1=8\left(3k+1\right)+1=24k+9=3\left(8k+3\right)\) là số lớn hơn 3 và chia hết cho 3

\(\Rightarrow8p^2+1\) là hợp số (ktm)

Vậy \(p=3\) là SNT duy nhất thỏa mãn yêu cầu