Một mặt cầu có tâm nằm trong tứ diện đều cạnh a và mặt cầu đó tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện đó. Tính diện tích S của mặt cầu.
Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, (S) là mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện ABCD, M là điểm thay đổi trên mặt cầu (S). Tính tổng
T = M A 2 + M B 2 + M C 2 + M D 2
A. 3 a 2 8
B. a 2
C. 4 a 2
D. 2 a 2
Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng a, (S) là mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của tứ diện ABCD, M là điểm thay đổi trên mặt cầu (S). Tính tổng T = M A 2 + M B 2 + M C 2 + M D 2 .
A. 3 a 2 8
B. a 2
C. 4 a 2
D. 2 a 2
Đáp án D
Với tứ diện đều ABCD thì mặt cầu (S) là mặt cầu có tâm trùng với tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và là trọng tâm của tứ diện đều cạnh a, đồng thời có bán kính R = a 2 4
Gọi G là trọng tâm của tứ diện ⇒ G A ¯ + G B ¯ + G C ¯ + G D ¯ = 0 ¯
Ta có:
T = M A 2 + M B 2 + M C 2 + M D 2 = M G ¯ + G A ¯ 2 + M G ¯ + G B ¯ 2 + M G ¯ + G C ¯ 2 + M G ¯ + G D ¯ 2
= 4 M G 2 + 2 M G ¯ G A ¯ + G B ¯ + G C ¯ + G D ¯ ⏟ 0 + G A 2 + G B 2 + G C 2 + G D 2 = 4 M G 2 + 4 G A 2
= 4 a 2 4 2 + 4 a 6 4 2 = 2 a 2 . Vậy T = M A 2 + M B 2 + M C 2 + M D 2 = 2 a 2
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. Một mặt cầu tiếp xúc với các mặt của tứ diện có bán kính là:
A. a 6 12
B. a 6 6
C. a 6 3
D. a 6 8
Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì hình tứ diện đó có tổng các cặp cạnh đối diện bằng nhau.
Giả sử có một mặt cầu tiếp xúc với các cạnh AB, AC, AD, BC, CD, BD của tứ diện ABCD lần lượt tại M, N, P, Q, R, S. Khi đó AM, AN, AP là các tiếp tuyến cùng xuất phát từ A nên AM = AN = AP.
Lập luận tương tự ta có: BM = BQ = BS; CQ = CR = CN; DR = DS = DP
Vậy AB + CD = AM + MB + CR + RD = AN + BS + CN + DS = AN + NC + BS + SD = AC + BD
Bằng lí luận tương tự ta chứng minh được AB + CD = AC + BD = AD + BC
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh 2a. Tính bán kính r của mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của tứ diện
A. r = a 6 12
B. r = a 6 8
C. r = a 6 6
D. r = a 6 3
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh 2a. Tính bán kính r của mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của tứ diện.
Cho tứ diện đều A B C D có cạnh 2a. Tính bán kính r của mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của tứ diện
A. r = 6 a 8
B. r = 6 a 6
C. r = 6 a 12
D. r = 6 a 3
Đáp án B
Bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện là r = 3 V S t p = 3. 2 a 3 2 12 4. 2 a 2 3 4 = a 6 6 .
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh 2a. Tính bán kính r của mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của tứ diện
A. r = 6 a 8
B. r = 6 a 6
C. r = 6 a 12
D. r = 6 a 3
Đáp án B
Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A xuống (BCD) và (ABC).
A H ∩ D K = O . Khi đó O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện
Ta có: D H = 2 3 2 a 2 − a 2 = 2 a 3 ; I K = 1 2 . 2 a 3 = a 3
D K = D I 2 − I K 2 = 4 a 2 − a 2 − a 3 2 = 2 a 6 3
Ta có: Δ D O H ~ Δ D I K ⇒ O H D H = I K D K
⇒ O H = D H . I K D K ⇒ r = O H = 2 a 3 . a 3 2 a 6 3 = a 6 6
Cách 2: Ta có: cos A I H ^ = H I A I = 1 3
⇒ O H = H I tan A I H ^ 2 = 2 a 3 6 . 1 2 = a 6 6 = r
Một mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a. Diện tích mặt cầu (S) là: