Đường tròn C 1  có tâm I 1 1 ; 2  và bán kính R 1   =   1 .

Đường tròn C 2  có tâm I 2 - 1 ; 0  và bán kính R 2   =   1 .

Chọn B

1.

\(\overrightarrow{OA}=\left(1;3\right)\Rightarrow OA=\sqrt{10}\)

Gọi I là trung điểm OA \(\Rightarrow I\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}\right)\)

Phương trình đường tròn đường kính OA nhận I là trung điểm và có bán kính \(R=\dfrac{OA}{2}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\):

\(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{5}{2}\)

b.

Gọi 2 trung tuyến là BN và CM (với M, N là trung điểm AB và AC)

B thuộc BN nên tọa độ có dạng: \(\left(b;1\right)\)

M là trung điểm AB \(\Rightarrow M\left(\dfrac{b+1}{2};2\right)\)

M thuộc CM nên tọa độ thỏa mãn:

\(\dfrac{b+1}{2}-4+1=0\Rightarrow b=5\Rightarrow B\left(5;1\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(4;-2\right)\Rightarrow\) pt AB: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=3-t\end{matrix}\right.\)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \(\Rightarrow\) G là giao điểm BN và CM

Tọa độ G thỏa mãn: \(\left\{{}\begin{matrix}y-1=0\\x-2y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow G\left(1;1\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_G-x_A-x_B=-3\\y_C=3y_G-y_A-y_B=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(-3;-1\right)\)

Biết tọa độ C, A, B bạn tự viết pt 2 cạnh còn lại

2.

AB vuông góc với trung trực của AB nên nhận (2;-3) là 1 vtpt và (3;2) là 1 vtcp

Phương trình tham số:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+3t\\y=-3+2t\end{matrix}\right.\)

Phương trình tổng quát:

\(2\left(x+1\right)-3\left(y+3\right)=0\Leftrightarrow2x-3y-7=0\)

b. Câu này tìm trung điểm của AB hay BC nhỉ? Ta chỉ có thể tìm được trung điểm BC sau khi hoàn thành câu c (nghĩa là thứ tự bài toán bị ngược)

Gọi N là trung điểm AB \(\Rightarrow\) tọa độ N thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-3y-7=0\\3x+2y-4=0\end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow N\left(2;-1\right)\)

N là trung điểm AB \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_B=2x_N-x_A=5\\y_B=2y_N-y_A=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(5;1\right)\)

G là trọng tâm tam giác nên: \(\left\{{}\begin{matrix}x_C=3x_G-x_A-x_B=8\\y_C=3y_G-y_A-y_B=-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(8;-4\right)\)

\(\Rightarrow M\left(\dfrac{13}{2};-\dfrac{3}{2}\right)\)

Câu 3 đơn giản bạn tự làm (AC vuông góc BB' nên nhận (1;-1) là 1 vtpt, AB vuông góc CC' nên nhận (4;1) là 1 vtpt).

Câu b thì B là giao điểm AB và BB', C là giao điểm AC và CC'

Câu 4.

\(x^2+16y^2=16\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{1}=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow c^2=15\Rightarrow c=\sqrt{15}\)

Các đỉnh có tọa độ lần lượt: \(\left(4;0\right);\left(-4;0\right);\left(0;1\right);\left(0;-1\right)\)

Tiêu điểm: \(F_1\left(-\sqrt{15};0\right);F_2\left(\sqrt{15};0\right)\)

Độ dài trục lớn: \(2a=8\)

Độ dài trục bé: \(2b=2\)

\(\overrightarrow{BA}=\left(2;4\right)\Rightarrow AB=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}\)

Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}M\left(-1;0\right)\\AM=\dfrac{AB}{2}=\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Đường tròn đường kính AB có tâm M và bán kính \(R=AM\) nên có pt:

\(\left(x+1\right)^2+y^2=5\)

Đáp án D

Gọi d  là đường thẳng qua M có véc tơ chỉ phương:

- Đường tròn (C₁) tâm I₁ (1;1) và R₁= 1

  Đường tròn (C₂) : tâm I₂( -2;0) và R₂= 3

- Nếu d cắt  (C₁) tại A :

- Nếu d cắt (C₂)  tại B:

- Theo giả thiết: MA= 2 MB nên MA²= 4 MB² (*)

- Ta có :

(x-x0)^2+(y-y0)^2=R^2

I(x;x-6)

=> (x-6)^2+(x-6-4)^2=R^2

(x-4)^2+(x-6)^2=R^2

=> x^2-12x+36+x^2-20x+100=x^2-8x+16+x^2-12x+36

=>12x=84

=>x=7

=>R^2=10

`=>(7-x0)^2+(1-y0)^2=10`

Tọa độ B là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\x-2y-2=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(0;-1\right)\)

Gọi vtpt của đường thẳng CM (cũng là đường cao kẻ từ C) có tọa độ \(\left(a;b\right)\)

H là chân đường cao kẻ từ B

\(cos\widehat{HBC}=\dfrac{\left|1.1+1.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{1^2+1^2}.\sqrt{1^2+\left(-2\right)^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{MCB}=cos\widehat{HBC}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}=\dfrac{\left|a+b\right|}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{1^2+1^2}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5}\left|a+b\right|\Leftrightarrow a^2+b^2=5\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2a^2+5ab+2b^2=0\Leftrightarrow\left(a+2b\right)\left(2a+b\right)=0\)

Chọn \(\left(a;b\right)=\left[{}\begin{matrix}\left(2;-1\right)\\\left(1;-2\right)\end{matrix}\right.\) (trường hợp (1;-2) loại do song song BH)

\(\Rightarrow\) Phương trình đường cao kẻ từ C:

\(2\left(x-2\right)-1\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow2x-y-3=0\)

Tọa độ C là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y+1=0\\2x-y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow C\left(...\right)\)

Gọi N là trung điểm BC \(\Rightarrow\) tọa độ N

Tam giác ABC cân tại A \(\Rightarrow\) AN là trung tuyến đồng thời là đường cao

\(\Rightarrow\) Đường thẳng AN vuông góc BC \(\Rightarrow\) nhận (1;-1) là 1 vtpt và đi qua N

\(\Rightarrow\) Phương trình AN

Đường thẳng AB vuông góc CM nên nhận (1;2) là 1 vtpt

\(\Rightarrow\) Phương trình AB (đi qua B và biết vtpt)

\(\Rightarrow\) Tọa độ A là giao điểm AB và AN