Ta có : \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Vì n là số nguyên , n(n+1)(n+2) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3

Mà (2,3) = 1 => n(n+1)(n+2) chia hêt cho 2x3 = 6

Hay \(n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)\)luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.

Nhận xét : số chính phương chia 5 dư 0;1;4

Đặt A = n.(n^2+1).(n^2+4)

Nếu n^2 chia hết cho 5 => n chia hết cho 5 ( vì 5 nguyên tố ) => A chia hết cho 5

Nếu n^2 chia 5 dư 1 => n^2+4 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

Nếu n^2 chia 5 dư 4 => n^2+1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

Vậy A chia hết cho 5

Tk mk nha

Bài 3: 

=>-3<x<2

Đặt A = n.(n+1).(2n+1).(3n+1).(4n+1)

+, Nếu n chia 5 dư 1 => 4n+1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

+, Nếu n chia 5 dư 2 => 3n+1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

+, Nếu n chia 5 dư 3 => 2n+1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

+, Nếu n chia 5 dư 4 => n+1 chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

+, Nếu n chia hết cho 5 => A chia hết cho 5

Vậy A luôn chia hết cho 5

Tk mk nha

-Xét n có dạng 5k thì tích có n chia hết cho 5 nên chia hết cho 5

-Xét n có dạng 5k+1 thì 4n +1=4x(5k+1)+1=20k+4+1=20k+5 chia hết cho 5.Vậy tích cũng chia hết cho 5

-Xét n có dạng 5k+2 thì 2n+1=2x(5k+2)+1=10k +4+1=10k+5 chia hết cho 5.Vậy tích chia hết cho 5

-Xét n có dạng 5k+3 thì 3n+1=3x(5k+3)+1=15k+9+1=15k+10 chia hết cho 5.Vậy tích chia hết cho 5

-Xét n có dạng 5k+4 thì n+1=5k+4+1=5k+5 chia hết cho 5.Vậy tích chia hết cho 5

Từ các trường hợp trên,suy ra tích nx(n+1)x(2n+1)x(3n+1)x(4n+1)chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n

Ta có:

Nếu n:5 (dư 1) thì ⇒4n+1 chia hết cho 5

Nếu n:5 (dư 2) thì ⇒3n+1 chia hết cho 5

Nếu n:5 (dư 3) thì ⇒2n+1 chia hết cho 5

Nếu n:5 (dư 4) thì ⇒  n+1 chia hết cho 5

⇒Với mọi số tự nhiên thì A luôn chia hết cho 5

Vậy A luôn chia hết cho 5

TH1 : n là số chẵn

→ n chia hết cho 2

→ n có dạng 2k

→ n . ( n + 15 )

= 2k . ( n + 15 ) chia hết cho 2 ( Vì 2k chia hết cho 2 )

→ n . ( n + 15 ) chia hết cho 2

TH2 : n là số lẻ

→ n chia 2 dư 1

→ n có dạng 2k + 1

→ n . ( n + 15 )

= n . ( 2k + 1 + 15 )

= n . ( 2k + 16 )

= 2n . ( k + 8 ) chia hết cho 2 ( Vì 2n chia hết cho 2 )

→ n . ( n + 15 ) chia hết cho 2

Vậy n . ( n + 15 ) chia hết cho 2 ∀ n ∈ N ( Điều phải chứng minh )

\(\Leftrightarrow n-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

hay \(n\in\left\{2;0;4;-2\right\}\)

n-4 = n-1-3 chia hết cho n-1

=> 3 chia hết cho n-1

=> n-1 thuộc ước của 3

=> n- 1 thuộc ( \(\pm1;\pm3\))

Với n-1=1 => n =2

Với n-1=-1 => n=0

Với n-1=3 => n=4

Với n-1=-3 => n=-2

Vậy n thuộc (2;0;4;-2)

n-4 = n-1-3 chia hết cho n-1

=> 3 chia hết cho n-1

=> n-1 thuộc ước của 3

=> n- 1 thuộc ( $\pm 1;\pm 3$)

Với n-1=1 => n =2

Với n-1=-1 => n=0

Với n-1=3 => n=4

Với n-1=-3 => n=-2

Vậy n thuộc (2;0;4;-2)

-4 = n-1-3 chia hết cho n-1

=> 3 chia hết cho n-1

=> n-1 thuộc ước của 3

=> n- 1 thuộc ( $\pm 1;\pm 3$)

Với n-1=1 => n =2

Với n-1=-1 => n=0

Với n-1=3 => n=4

Với n-1=-3 => n=-2

Vậy n thuộc (2;0;4;-2)

\(n-4⋮n-1\)

=>\(n-1-3⋮n-1\)

=>\(-3⋮n-1\)

=>\(n-1\in\left\{1;-1;3;-3\right\}\)

=>\(n\in\left\{2;0;4;-2\right\}\)