Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có thể tích bằng α 3 . Gọi M, N, P lần lượt là tâm của các mặt bên và G là trọng tâm tam giác ABC. Thể tích của khối tứ diện GMNP bằng
Cho hình lăng trụ A B C . A ' B ' C ' có thể tích bằng a 3 . Gọi M, N, P lần lượt là tâm của các mặt bên và G là trọng tâm tam giác ABC. Thể tích của khối tứ diện GMNP bằng
A. a 3 24
B. a 3 8
C. a 3 12
D. a 3 16
Cho hình lăng trụ A B C . A ' B ' C ' có thể tích bằng a 3 . Gọi M, N, P lần lượt là tâm của các mặt bên và G là trọng tâm tam giác ABC . Tính thể tích V của khối tứ diện GMNP.
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'có thể tích bằng a 3 . Gọi M, N, P lần lượt là tâm của các mặt bên và G là trọng tâm tam giác ABC . Tính thể tích V của khối tứ diện GMNP
A. V = a 3 24
B. V = a 3 8
C. V = a 3 12
D. V = a 3 16
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB=a, góc giữa 2 mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 60 độ. Gọi G là trọng tâm của tam giác A'BC.
Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a
_ Thể tích khối lăng trụ :
Gọi D là trung điểm của BC ta có : \(BC\perp AD\Rightarrow BC\perp A'D\Rightarrow\widehat{ADA'}=60^0\)
Ta cso \(AA'=AD.\tan\widehat{ADA'}=\frac{3a}{2};S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\)
Do đó \(V_{ABC.A'B'C'=}S_{ABC}.AA'=\frac{3a^2\sqrt{3}}{8}\)
- Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC :
Ta có I là giao điểm của GH với đường trung trực của AG trong mặt phẳng (AGH)
Gọi E là trung điểm của AG, ta có :
\(R=GI=\frac{GE.GA}{GH}=\frac{GA^2}{2GH}\)
Ta có :
\(GH=\frac{AA'}{3}=\frac{a}{2};AH=\frac{a\sqrt{3}}{3};GA^2=GH^2+AH^2=\frac{7a^2}{12}\)
Do đó \(R=\frac{7a^2}{2.12}.\frac{2}{a}=\frac{7a}{12}\)
Cho lăng trụ tam giác ABC.MNP có thể tích V. Gọi G 1 ; G 2 ; G 3 ; G 4 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACM, AMB, BCM, V 1 là thể tích của khối tứ diện G 1 G 2 G 3 G 4 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. V = 27 V 1
B. V = 9 V 1
C. V = 81 V 1
D. 8 V = 81 V 1
Đáp án C.
Phương pháp
So sánh diện tích đáy và chiều cao của các khối chóp.
Cách giải
Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB, BC.
Vì G 2 ; G 3 ; G 4 là trọng tâm các tam giác MAC, MAB, MBC nên
G 2 ∈ M D ; M G 2 = 2 D G 2 G 3 ∈ M E ; M G 3 = 2 E G 3 G 4 ∈ M F ; M G 4 = 2 F G 4 ⇒ G 2 G 3 G 4 / / D E F ⇒ V 1 = V E . G 2 G 3 G 4 = F G 3 M G 3 . V M . G 2 G 3 G 4 = 1 2 V M . G 2 G 3 G 4
Lại có
V M . G 2 G 3 G 4 V M D E F = M G 2 . M G 3 . M G 4 M D . M E . M F = 2 3 . 2 3 . 2 3 = 8 27
⇒ V 1 = 1 2 8 27 V M D E F = 4 27 V M D E F
Lại có
S D E F = 1 4 S A B C ⇒ V M . D E F = 1 4 V M . A B C = 1 4 . 1 3 V = 1 12 V
Vậy
V 1 = 4 27 . V 12 = V 81
Cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có thể tích bằng V. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, A'C’, BB’. Thể tích của khối tứ diện CMNP bằng
A. 5 24 V
B. V 4
C. 7 24 V
D. V 3
Đáp án A
Gọi E là trung điểm của A C ⇒ N E / / B B ' . Nối NP cắt BE tại I suy ra B là trung điểm của EI. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC ⇒ B G = 2 E G .
⇒ d B ; M C = 2 d E ; M C ⇒ d B ; M C = 2 3 d B ; A C
Suy ra: d I ; M C = 1 + 3 2 d B ; M C = 5 2 d B ; M C
Mà S Δ I M C = 1 2 d I ; M C . M C
= 1 2 . 5 2 d B ; M C . M C = 5 2 S Δ M B C = 5 4 S Δ A B C
Ta có: V N . M P C V N . M I C = N P N I = 1 2 ⇒ V N . M P C = 1 2 x V N . M I C 1
Lại có:
V N . M I C = 1 3 . d N ; A B C . S Δ I M C = 1 3 . d A ' ; A B C . 5 4 S Δ A B C ⇒ V N . M I C = 5 12 . d A ' ; A B C . S Δ A B C = 5 12 V A B C . A ' B ' C ' = 5 12 V
Từ (1) và (2) suy ra V C M N P = 1 2 . 5 12 x V = 5 24 V .
Cho hình chóp đều S. ABCD có độ dài cạnh đáy bằng α . Gọi G là trọng tâm tam giác SAC . Mặt phẳng chứa AB và đi qua G cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M và N. Biết mặt bên của hình chóp tạo với đáy một góc bằng 60 ° . Thể tích khối chóp S.ABCD bằng
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a :
a) Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C
b) Mặt phẳng đi qua A'B' và trọng tâm tam giác ABC, cắt AC và BC lần lượt tại E và F. Tính thể tích hình chóp C.A'B'FE
Ta tính thể tích hình chóp A’.BCB’. Gọi M là trung điểm của B’C’, ta có: ATM ⊥ B’C’ (1)
Lăng trụ ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng nên: BB’ ⊥ (A’B’C’) ⇒BB’⊥ A’M (2)
Từ (1) và (2) suy ra
AM⊥ (BB’C) hay A’M là đường cao của hình chóp A’.BCB’
Cho hình lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên BCC'B' là hình vuông cạnh 2 α . Thể tích của khối lăng trụ ABCA'B'C' bằng