Đáp án A

Ký hiệu như hình vẽ. Đặt   A B = B C = C D = D A = a ; S O = h

Suy ra   S B = a 2 2 + h 2  

Gọi M là trung điểm của SB

Trong (SBD) kẻ trung trực của SB cắt SO tại I

Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Suy ra I S = R .

Hai tam giác vuông SMI và SOB đồng dạng ⇒ S I S B = S M S O ⇒ R = a 2 + 2 h 2 4 h với  0 < h < 2 R .  Suy ra a 2 = 2 h 2 R − h .

Thể tích V của khối chóp là:

V = 1 3 a 2 h = 1 3 2 h 2 2 R − h = 8 3 h 2 h 2 2 R − h ≤ 8 3 h 2 + h 2 + 2 R − h 3 3 = 64 R 3 81

Vậy GTLN của V  bằng 64 R 3 81  đạt được khi   h 2 = 2 R − h ⇔ h = 4 R 3

Suy ra a = 4 R 3  .

Đáp án D

Kí hiệu như hình vẽ bên

Chuẩn hóa R = 1  và gọi r,h lầm lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón

⇒ Thể tích khối nón là  V 1 = 1 3 π r 2 h

Tam giác AMK vuông tại K, có:

I K 2 = I M . I A ⇔ r 2 = h 2 R − h = h 2 − h

Để V 1 V 2 lớn nhất ⇔ V 2 V 1 = V C − V 1 V 1 = V C V 1 − 1 nhỏ nhất ⇔ V 1  đạt giá trị lớn nhất

Khi đó V 1 = π 3 h 2 2 − h ≤ π 3 . 32 27 = 32 π 81  (khảo sát hàm số f h = 2 h 2 − h 3 ) )

Vậy tỉ số:

V 1 V 2 = 1 : V C V 1 − 1 = 1 : 4 π 3 : 32 π 81 − 1 = 8 19

Đáp án D

Trong mặt phẳng chứa đường tròn tâm O ngoại tiếp tứ giác ABCD ta kẻ đường kính qua O vuông góc với dây cung AC tại I. Ta có IA = IC và OI // BD. Gọi O’ là tâm mặt cầu đi qua 5 đỉnh của hình chóp. Khi đó điểm O’ phải nằm trên trục d của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Ta có d ⊥ (ABCD) tại O. Gọi M là trung điểm của cạnh SC. Ta có MI // SA nên MI  ⊥ (ABCD) tại I. Từ M kẻ đường thẳng d’ // OI cắt d tại O’. Vì d′ ⊥  (SAC) tại M nên ta có O’C = O’S và O’C là bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Ta có:

Vì SA không đổi nên ta có V SABCD lớn nhất khi và chỉ khi  S ABCD  lớn nhất. Ta có  S ABCD  = AC.BD/2 trong đó AC và BD là hai dây cung vuông góc với nhau. Vậy AC.BD lớn nhất khi và chỉ khi AC = BD = 2r’, nghĩa là tứ giác ABCD là một hình vuông.