Question

Cho mặt cầu (S) có bán kính R không đổi, hình nón (H) bất kỳ nội tiếp mặt cầu (S). Thể tích khối nón (H) là V 1  thể tích phần còn lại của khối cầu là V 2  Giá trị lớn nhất của V 1 V 2  bằng:

A.  81 32

B.  76 32

C.  32 81

D.  32 76

Answer 1

Đáp án D

Kí hiệu như hình vẽ bên

Chuẩn hóa R = 1  và gọi r,h lầm lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón

⇒ Thể tích khối nón là  V 1 = 1 3 π r 2 h

Tam giác AMK vuông tại K, có:

I K 2 = I M . I A ⇔ r 2 = h 2 R − h = h 2 − h

Để V 1 V 2 lớn nhất ⇔ V 2 V 1 = V C − V 1 V 1 = V C V 1 − 1 nhỏ nhất ⇔ V 1  đạt giá trị lớn nhất

Khi đó V 1 = π 3 h 2 2 − h ≤ π 3 . 32 27 = 32 π 81  (khảo sát hàm số f h = 2 h 2 − h 3 ) )

Vậy tỉ số:

V 1 V 2 = 1 : V C V 1 − 1 = 1 : 4 π 3 : 32 π 81 − 1 = 8 19