Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng O y z cắt mặt cầu S : x 2 + y 2 + z 2 + 2 x - 2 y + 4 z - 3 = 0 theo một đường tròn có tọa độ tâm H là
A. H - 1 ; 0 ; 0
B. H 0 ; - 1 ; 2
C. H 0 ; 2 ; - 4
D. H 0 ; 1 ; - 2
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 4 y - 12 z = 0 và mặt phẳng P : 2 x + y - z - 2 = 0 . Tính diện tích thiết diện của mặt cầu (S) cắt bởi mặt phẳng (P).
A. S = 49 π
B. S = 50 π
C. S = 25 π
D. S = 36 π
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (Oxy) cắt mặt cầu S : x - 1 2 + y - 2 2 + z - 3 2 = 16 theo giao tuyến là đường tròn tâm H, bán kính r. Tìm tọa độ tâm H và bán kính r.
A. H 1 ; 2 ; 0 , r = 7
B. H 0 ; 0 ; 3 , r = 7
C. H 1 ; 2 ; 0 , r = 7
D. H 1 ; 2 ; 0 , r = 11
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu (S): x + 1 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 4 và mặt phẳng Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. (P) cắt (S).
B. Tâm của mặt cầu (S) nằm trên mặt phẳng (P).
C. (P) không cắt (S).
D. (P) tiếp xúc (S).
Chọn A
Mặt cầu có tâm I(-1;2;1), R = 2
Khoảng cách từ I tới mặt phẳng (P):
d(I,(P))
Vậy (P) cắt (S).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x − 1 2 + y − 2 2 + z + 1 2 = 1 , phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục hoành và tiếp xúc với mặt cầu (S) là
A. Q : 4 y + 3 z = 0
B. Q : 4 y + 3 z + 1 = 0
C. Q : 4 y − 3 z + 1 = 0
D. Q : 4 y − 3 z = 0
Đáp án là A.
+ Mặt phẳng chứa Ox có dạng B y + C z = 0
+ Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên:
2 B − C B 2 + C 2 = 1 ⇔ B = 0 B = 4 , C = 3
Vậy mặt phẳng cần tìm 4 y + 3 z = 0
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x - 1 2 + y - 2 2 + z + 1 2 = 1 , phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục hoành và tiếp xúc với mặt cầu (S) là
A. (Q): 4y +3z = 0
B. (Q): 4y +3z +1= 0
C. (Q): 4y -3z +1= 0
D. (Q): 4y -3z = 0
Đáp án là A.
+ Mặt phẳng chứa Ox có dạng By+Cz=0
+ Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên 2 B - C B 2 + C 2 = 1 ⇔ B = 0 B = 4 , C = 3
Vậy mặt phẳng cần tìm 4y +3z=0
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt cầu S : x + 1 2 + y - 2 2 + z - 1 2 = 4 và mặt phẳng P : x - y - z + 3 = 0 .Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. (P) cắt (S).
B. Tâm của mặt cầu (S) nằm trên mặt phẳng (P).
C. (P) không cắt (S).
D. (P) tiếp xúc (S).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình x - 1 2 + y - 2 2 + z + 1 2 = 1 . Một phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục hoành và tiếp xúc với mặt cầu (S) là:
A. 4y + 3z = 0
B. 4y + 3z + 1 = 0
C. 4y - 3z + 1 = 0
D. 4y - 3z = 0
Chọn A
Mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; -1) và bán kính R = 1
Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là với
Mặt khác (Q) chứa trục hoành nên (Q) có phương trình dạng (Q): By + Cz = 0
Lại có (Q) tiếp xúc mặt cầu (S) nên
+ Với B = 0 thì phương trình mặt cầu là z = 0 ( chính là mặt phẳng 0xy)
+ Với 3B – 4C = 0, chọn B = 4 => C = 3. Vậy (Q): 4y + 3z = 0
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(0;1;2), mặt phẳng (α): x-y+z-4=0 và mặt cầu (S): (x-3)²+ (y-1)²+ (z-2)²=16. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (α) và đồng thời (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính nhỏ nhất. Tọa độ giao điểm M của (P) và trục x'Ox là:
A . M - 1 2 ; 0 ; 0
B . M - 1 3 ; 0 ; 0
C . M 1 ; 0 ; 0
D . M 1 3 ; 0 ; 0
Chọn A
Gọi là một vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).
Theo đề bài ta có mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (α): x-y+z-4=0 nên ta có phương trình a-b+c=0 ó b=a+c
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(0;1;2) và có véc tơ pháp tuyến là ax+ (a+c) (y-1)+c (z-2) =0
Khoảng cách từ tâm I (3;1;2) đến mặt phẳng (P) là
Gọi r là bán kính của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) ta có r²=16-h² ; r nhỏ nhất khi h lớn nhất.
Dấu “=” xảy ra khi a = -2c. => một véc tơ pháp tuyến là => phương trình mặt phẳng (P) là 2x+y-z+1=0.
Vậy tọa độ giao điểm M của (P) và trục x'Ox là:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu (S): x²+y²+z²+2x-6y+4z-15=0. Mặt phẳng chứa d, tiếp xúc với (S) và cắt trục Oz tại điểm có cao độ lớn hơn 3 có phương trình là:
A. 2x-3y+4z-10=0.
B. 2x-3y+4z-12=0.
C. 3x-4y+2z-12=0.
D. 3x-4y+2z-10=0.
Chọn D
Mặt cầu (S) có tâm I (-1;3;-2) và bán kính R = √29.
Mặt phẳng (P) chứa d có dạng m (4x-5y-10)+n (y-8z+10)=0
ó 4mx + (n – 5m)y – 8nz + 10n – 10m = 0 với m²+n²>0.
(P) tiếp xúc với (S) nên d (I, (P)) = R
Trường hợp 1: m = -n, phương trình mặt phẳng (P): 2x-3y+4z-10=0.
Khi đó giao điểm của (P) và Ox có tọa độ là (0;0;5/2) (nhận)
Trường hợp 2: m = -3n, phương trình mặt phẳng (P):x-2y+6z-10=0.
Khi đó giao điểm của (P) và Ox có tọa độ là (0;0;5/3) (loại).
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x - 2 2 + y 2 + z 2 = 9 và mặt phẳng (P): x+y-z+m=0, m là tham số. Biết rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r = 6 . Giá trị của tham số m thỏa mãn bằng
A. m=3 hoặc m=4
B. m=3 hoặc m=-5
C. m=1 hoặc m=-4
D. m=1 hoặc m=-5