Cho hình hộp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm I cạnh AB=3a, BC=4a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của ID. Biết rằng SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 45 ° . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình chữ nhật tâm I cạnh AB = 3a, BC = 4a. Hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm ID . Biết rằng SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 45 0 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD.
A. 125 π 2 a 2
B. 4 π a 2
C. 25 π 2 a 2
D. 125 π 4 a 2
Phương pháp:
+) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp là giao điểm của trục của mặt đáy và mặt phẳng trung trực của 1 cạnh bên.
+) Áp dụng các kiến thức đã học tính bán kính mặt cầu. Từ đó áp dụng công thức tính diện tích mặt cầu bán kính R: S = 4 π R 2
Cách giải:
Qua I dựng đường thẳng d song song với SH, đường thẳng này chính là trục của hình chóp SABCD.
Dựng đường thẳng trung trực của cạnh SB,
cắt đường thẳng d tại K.
Khi đó K là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, A B = a , B C = 2 a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm H của OA. Biết rằng đường thẳng SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 0 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = 2a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm H của OA. Biết rằng mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 ° . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V = a 3 3
B. V = a 3 15 2
C. V = a 3 15
D. V = a 3 15 2
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, A B = a , B C = 2 a , hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm H của OA. Biết rằng mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 0 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = 2a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm H của OA. Biết rằng đường thẳng SbB tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 0 . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V = 4 a 3 5 15
B. V = 4 a 3 13 12
C. V = 4 a 3 13 6
D. V = a 3 5 6
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = 2a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy là trung điểm H của OA. Biết rằng đường thẳng SA tạo với mặt đáy một góc 45 ° . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. a 3 6
B. 2 a 3 5 6
C. a 3 5 6
D. a 3 3
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, A D = B C = a 13 4 , A B = 2 a , C D = 3 a 2 , mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tam giác ASI cân tại S, với I là trung điểm của cạnh AB, SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 30º. Khoảng cách giữa SI và CD là
A. a 13 7
B. 2 a 21 7
C. 2 a 13 7
D. a 21 7
Đáp án D
Gọi M, E là trung điểm của AI và CD
Kẻ S H ⊥ C D do mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) nên S H ⊥ ( A B C D ) . Mặt khác SA=SI
⇒ S M ⊥ A I ⇒ A I ⊥ ( S H M ) ⇒ H K ⊥ ( S A I ) mà CD
Song song với (SAB) ⇒ H K là khoảng cách cần tìm.
Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F
⇒ H B = a 3 ; S H = H B . tan 30 o = a 3 . 1 3 = a
Ta có 1 H K 2 = 1 S H 2 + 1 H M 2 = 1 a 2 + 4 3 a 2 = 7 3 a 2
⇒ H K = a 21 7
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, A D = B C = a 13 4 , AB = 2a, C D = 3 a 2 , mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tam giác ASI cân tại S, với I là trung điểm của cạnh AB, SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 30º. Khoảng cách giữa SI và CD là
A. a 13 7
B. 2 a 21 7
C. 2 a 13 7
D. a 21 7
Gọi M; E là trung điểm của AI và CD
Kẻ S H ⊥ C D do mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng(ABCD) nên S H ⊥ A B C D . Mặt khác SA = SI
⇒ S M ⊥ A I ⇒ A I ⊥ S H M ⇒ H K ⊥ S A I
mà CD . Song song với S A B ⇒ H K là khoảng cách cần tìm. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F
⇒ E F = a 13 4 ; F I = a 4 ⇒ H M = a 3 2 ⇒ H B = a 3 S H = H B . tan 30 o = a 3 . 1 3 = a
Ta có
1 H K 2 = 1 S H 2 + 1 H M 2 = 1 a 2 + 4 3 a 2 = 7 3 a 2 ⇒ H K = a 21 7
Đáp án cần chọn là D
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, A D = B C = a 13 4 , A B = 2 a , C D = 3 a 2 , mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tam giác ASI cân tại S, với I là trung điểm của cạnh AB, SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 300. Khoảng cách giữa SI và CD là
A. a 13 7
B. 2 a 21 7
C. 2 a 13 7
D. a 21 7