Ta có: abcd = 100.ab + cd = 4.25.ab + cd

Nếu abcd ⋮ 4 mà 4.25.ab ⋮ 4 nên cd ⋮ 4

Ta cần chứng minh:\(\frac{\left(x+1\right)^2}{4}\ge x\)

Thật vậy: \(\left(x-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x+1\ge4x\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)^2\ge4x\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+1\right)^2}{4}\ge x\)(đpcm)

Gọi 4 stn liên tiếp là:a;a+1;a+2;a+3

Ta có: a+a+1+a+2+a+3=4a.(1+2+3)=4a.6

Mà 4a chia hết cho 4 ;   6 không chia hết cho 4

Nên 4a.6 không chia hết cho 4

Vậy tổng 4 stn liên tiếp ko chia hết cho 4

a) abba = 1001a + 110b = 11.(91a + 10b) chia hết cho 11

\(\Rightarrow\) abba là bội của 11

b) ababab = ab.10101 = ab.3367.3 chia hết cho 3

\(\Rightarrow\) ababab là bội của 3

c) abcd = ab.100 + cd

Ta có ab.100 chia hết cho 4 (vì 100 chia hết cho 4)

         cd chia hết cho 4

\(\Rightarrow\) ab.100 + cd chia hết cho 4

\(\Rightarrow\) abcd chia hết cho 4

d) abcd = ab.100 + cd

Ta có abcd chia hết cho 4

         ab.100 chia hết cho 4 (vì 100 chia hết cho 4)

\(\Rightarrow\) cd chia hết cho 4

Gọi d là ước chung của n + 1 và 3n + 4.

Ta có n + 1 ⋮ d nên 3( n+1) ⋮ d hay 3n + 3 ⋮ d

Lại có: 3n + 4 ⋮ d.

Suy ra (3n + 4) - (3n + 3) ⋮ d hay 1 ⋮ d

Do đó, d = 1.

Vậy n + 1 và 3n + 4 là hai số nguyên tố cùng nhau.

\(B=\left(1+4+4^2\right)+...+4^{36}\left(1+4+4^2\right)\)

\(=21\left(1+...+4^{36}\right)⋮21\)