Trong không gian Oxyz, lấy điểm C trên tia Oz sao cho O C = 1 . Trên hai tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm A, B thay đổi sao cho O A + O B = O C . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC?
A. 6 4
B. 6
C. 6 3
D. 6 2
Giả sử
Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc.
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và OC.
Ta có
Qua M dựng đường thẳng song song với OC, qua N dựng đường thẳng song song với OM. Hai đường thẳng này cắt nhau tại I.
∆ O A B vuông tại O ⇒ M là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ O A B ⇒ I A = I B = I O .
I là tâm mặt cầu ngoại tiếp O.ABC
Ta có
Chọn A.
Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz, đặt OC=1, các điểm A,B thay đổi trên Ox, Oy sao cho OA+OB=OC. Tìm giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz, đặt OC = 1, các điểm A, B thay đổi trên Ox, Oy sao cho OA + OB = OC. Giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là
A. 6 3
B. 6
C. 6 4
D. 6 2
Đáp án C
Phương pháp: Sử dụng phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Cách giải: Đặt A(x;0;0), B(0;y;0), (x,y > 0)
Vì OA + OB = OC = 1 => x + y = 1
Gọi J, F lần lượt là trung điểm AB, OC. Kẻ đường thẳng qua F song song OJ, đường thẳng qua J song song OC, 2 đường thẳng này cắt nhau tại G.
∆OAB vuông tại O => J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
GJ // OC => GJ ⊥ (OAB) => GO = GA = GB
GF // JO, JO ⊥ OC => GF ⊥ OC, mà F là trung điểm của OC
=>GF là đường trung trực của OC => GC = GO
=> GO = GA = GB = GC => G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC :
Ta có:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz, đặt OC=1 các điểm A, B thay đổi trên Ox, Oy sao cho OA+OB=OC. Giá trị bé nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là
A. 6 3
B. 6
C. 6 4
D. 6 2
Đáp án C
Phương pháp: Sử dụng phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Cách giải: Đặt A(x;0;0), B(0;y;0), (x,y>0)
Vì OA+OB=OC = 1 => x+y=1
Gọi J, F lần lượt là trung điểm AB, OC. Kẻ đường thẳng qua F song song OJ, đường thẳng qua J song song OC, 2 đường thẳng này cắt nhau tại G
Tam giác OAB vuông tại O => J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
mà F là trung điểm của OC
=>GF là đường trung trực của OC => GC=GO
=> GO=GA=GB=GC=> G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
Ta có:
Trong không gian Oxyz, biết mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1;4;9) và cắt các tia dương Ox, Oy, Oz lần lượt tại ba điểm A, B, C khác gốc tọa độ O sao cho OA +OB+OC đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó chọn khẳng định đúng
A. Độ dài ba cạnh OA, OB, OC bằng nhau
B. Độ dài ba cạnh OA, OB, OC theo thứ tự lần lượt lập thành các số nhân
C. Độ dài ba cạnh OA, OB, OC theo thứ tự lần lượt lập thành cấp số cộng
D. Độ dài ba cạnh OA, OB, OC theo thứ tự lần lượt là ba số hạng của một dãy số giảm
HD: Gọi tọa độ ba điểm A, B, C lần lượt là
Vậy độ dài ba cạnh OA, OB, OC lần lượt theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Chọn C.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(4;1;9). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và cắt 3 tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A,B,C (khác 0) sao cho (OA+OB+OC) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính khoảng cách d từ điểm I(0;1;3) đến mặt phẳng (P).
A. d= 34 5
B. d= 36 5
C. d= 24 7
D. d= 30 7
Trong không gian Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm M(1;4;9), cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho biểu thức OA+OB+OC đạt giá trị nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) đi qua điểm nào dưới đây?
A. N(12;0;0).
B. N(6;0;0).
C. N(0;0;12).
D. N(0;6;0).
Trên hai cạnh Ox và Oy của xOy lấy hai điểm A và B sao cho OA = OB, tia phân giác Oz của góc xOy cắt AB tại C a) CMR: C là trung điểm của AB và Oc ⊥ AB b) Trên tia Cz lấy điểm M sao cho OC = CM.Chứng minh: AM//OB và BM//OA c) Kẻ MI ⊥ Oy, MK ⊥ Ox. So sánh BI và AK d) Goi N la giao diem cua AI va BK, c/m O,N,M thang hang
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A, B, C lần lượt thuộc các tia O x , O y , O z (không trùng với gốc tọa độ) sao cho O A = a , O B = b , O C = c . Giả sử M là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC và có khoảng cách đến các mặt O B C , O C A , O A B lần lượt là 1, 2, 3. Tính tổng S = a + b + c khi thể tích của khối chóp O . A B C đạt giá trị nhỏ nhất
A. S = 18
B. S = 9
C. S = 6
D. S = 24
Đáp án A
Dễ dàng suy ra:
A a ; 0 ; 0 , B 0 ; b ; 0 , C 0 ; 0 ; c , a , b , c > 0
vì d M ; O B C = d M ; O y z = x M = 1 , tương tự ta có được M 1 ; 2 ; 3
M ∈ A B C ⇔ 1 a + 2 b + 3 c ≥ 3 1.2.3 a . b . c 3 ⇔ a b c 6 = V O . A B C ≥ 27
Dấu bằng xảy ra khi:
1 a = 2 b = 3 c = 1 3 ⇒ a = 3 ; b = 6 ; c = 9 ⇒ a + b + c = 18
