Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BC'.
A. a 3 3
B. a 2 3
C. a 3 2
D. a 2 2
Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' có cạnh bằng a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD' và B'C.
A. a 2
B. a 2 2
C. a 3 3
D. a 6 6
Đáp án D.
Cách 1: Gọi I là giao điểm của BC' và B'C . Trong B C ' D ' kẻ I H ⊥ B D ' tại H.
Ta có
B C ' ⊥ B ' C D ' C ' ⊥ B ' C B C ' , D ' C ' ∈ B C ' D ' ⇒ B ' C ⊥ B C ' D ' ⇒ B ' C ⊥ I H
Suy ra IH là đường vuông góc chung của BD' và B ' C ⇒ d B D ' , B ' C = I H .
Hai tam giác vuông BC'D' và BHI đồng dạng
⇒ I H D ' C ' = B I B D ' = a 2 2 a 3 = 6 6 ⇒ I H = a 6 6
Ta chọn D.
Cách 2: (Tọa độ hóa . Độc giả tự thực hiện)
Cho hình lập phương A B C D . A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a (tham khảo hình vẽ bên). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và B’D’ bằng :
A. a
B. a 2 2
C. a 2
D. a 2
Cho hình lập phương A B C D , A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD¢. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng C K , A ' D
A. a
B. 2 a 5
C. a 3
D. 3 a 8
Cho hình lập phương A B C D . A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A B ' và B C ' .
A. a 3 3
B. a 2 3
C. a 3 2
D. a 2 2
Cho hình lập phương A B C D . A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a, M và N là trung điểm của AC và B'C'. Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B'D' là
A. a 5 5 .
B. 3a
C. a 3
D. a 5 .
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng \(a\). Tính khoảng cách:
a) Giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACD'} \right)\) và \(\left( {A'C'B} \right)\).
b) Giữa đường thẳng \(AB\) và \(\left( {A'B'C'D'} \right)\).
a) \(AA'C'C\) là hình chữ nhật
\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow AC\parallel A'C'\\A'C' \subset \left( {A'C'B} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AC\parallel \left( {A'C'B} \right)\)
\(ABC'D'\) là hình bình hành
\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow AD'\parallel BC'\\BC' \subset \left( {A'C'B} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AD'\parallel \left( {A'C'B} \right)\)
Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}AC\parallel \left( {A'C'B} \right)\\AD'\parallel \left( {A'C'B} \right)\\AC,A{\rm{D}}' \subset \left( {AC{\rm{D}}'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {AC{\rm{D}}'} \right)\parallel \left( {A'C'B} \right) \Rightarrow \left( {\left( {AC{\rm{D}}'} \right),\left( {A'C'B} \right)} \right) = {0^ \circ }\)
b) Ta có:
\(\left. \begin{array}{l}AB\parallel A'B'\\A'B' \subset \left( {A'B'C'D'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB\parallel \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow \left( {AB,\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = {0^ \circ }\)
Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng a, gọi α là góc giữa đường thẳng AB' và mặt phẳng (BB'D'D). Tính
A. 3 4
B. 3 2
C. 3 5
D. 1 2
Đáp án D
Gọi I là giao điểm của AC và BD
A I ⊥ B D A I ⊥ B B ' ⇒ A I ⊥ B B ' D ' D
=> B’I là hình chiếu vuông góc của AB’ lên (BB’D’D)
Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB' và bằng 2 a 5 5 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD' là a 3 3 . Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật đã cho
A. V = a 3
B. V = 8 a 3
C. V = 2 a 3
D. V = 3 a 3
Đáp án C.
Giả sử các kích thước của hình hộp chữ nhật là A B = x , A D = y , A A ' = z . Trong đó x , y , z > 0 . Để giải bài toán, ta phân tích từng dữ kiện có trong đề bài.
1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C bằng 2 a 5 5 .
Ta có
A B / / C D C D ⊂ A ' B ' C D A B ⊄ A ' B ' C D ⇒ A B / / A ' B ' C D ⇒ d A B ; B ' C = d A B ; A ' B ' C D
= d A ; A ' B ' C D = A H = 2 a 5 5 với H là hình chiếu của A trên .
Từ 1 A H 2 = 1 A A ' 2 + 1 A D 2 ⇒ 1 y 2 + 1 z 2 = 5 4 a 2 (1)
2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB' bằng 2 a 5 5 .
Tương tự, ta chứng minh được
B C / / A B ' C ' D ⇒ d B C ; A B ' = d B C ; A B ' C ' D
= B K = 2 a 5 5
với K là hình chiếu của B trên AB'.
Từ 1 B K 2 = 1 B A 2 + 1 B B ' 2 ⇒ 1 x 2 + 1 z 2 = 5 4 a 2 (2)
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và BD' là a 3 3 .
Gọi O = A C ∩ B D ⇒ O là trung điểm của BD. Gọi I là trung điểm của DD' thì OI là đường trung bình của Δ B D D ' ⇒ O I / / B D ' ⇒ B D ' / / A C I
⇒ d B D ' ; A C = d B D ' ; A C I = d D ' ; A C I = d D ; A C I
Ta thấy DI, DA, DC đôi một vuông góc với nhau nên:
1 d 2 D ; A C I = 1 D A 2 + 1 D C 2 + 1 D I 2 = 1 D A 2 + 1 D C 2 + 4 D D ' ⇒ 1 x 2 + 1 y 2 + 4 z 2 = 3 a 2
(3)
Giải hệ phương trình gồm (1), (2) và (3) ta tìm được: x = y = z , z = 2 a .
Vậy thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho là V = x y z = a . a .2 a = 2 a 3 (đvtt).
Cho hình hộp A B C D . A ' B ' C ' D ' có cạnh AB = a và diện tích tứ giác A ' B ' C ' D ' là 2 a 2 . Mặt phẳng A ' B ' C ' D ' tạo với mặt phẳng đáy góc 60 o , khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và CD bằng 3 a 21 7 . Tính thể tích V của khối hộp đã cho, biết hình chiếu của A' thuộc miền giữa hai đường thẳng AB và CD, đồng thời khoảng cách giưa hai đường thẳng AB và CD nhỏ hơn 4a
A. V = a 3 3
B. V = 3 a 3 3
C. V = 2 a 3 3
D. V = 6 a 3 3