Chọn A

Tìm tọa độ giao điểm M bằng cách giải hệ. Mặt phẳng (P) cần tìm qua điểm M và nhận vecto chỉ phương của d làm vecto pháp tuyến.

Hiển nhiên M ∈ (α ) , Gọi (β) là mặt phẳng bất kì chứa d, ta có

=> M ∈ (β)

Vậy M là điểm chung của (α ) và mọi mặt phẳng (β) chứa d

Hiển nhiên M ∈ (α ) , Gọi (β) là mặt phẳng bất kì chứa d, ta có

=> M ∈ (β)

Vậy M là điểm chung của (α ) và mọi mặt phẳng (β) chứa d

Lấy điểm A ∈ a, A’ là hình chiếu của A trên mặt phẳng (α) ⇒ AA’ = khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α)

Mà khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ A tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).

Vậy khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (α).

a) + Trong mp(ABCD), AB cắt CD tại E.

E ∈ AB ⊂ (MAB) ⇒ E ∈ (MAB) ⇒ ME ⊂ (MAB)

E ∈ CD ⊂ (SCD) ⇒ E ∈ (SCD)

Mà M ∈ SC ⊂ (SCD)

⇒ ME ⊂ (SCD).

+ Trong mp(SCD), EM cắt SD tại N.

Ta có:

N ∈ SD

N ∈ EM ⊂ mp(MAB)

Vậy N = SD ∩ mp(MAB)

b) Chứng minh SO, MA, BN đồng quy:

+ Trong mặt phẳng (SAC) : SO và AM cắt nhau.

+ trong mp(MAB) : MA và BN cắt nhau

+ trong mp(SBD) : SO và BN cắt nhau.

+ Qua AM và BN xác định được duy nhất (MAB), mà SO không nằm trong mặt phẳng (MAB) nên AM; BN; SO không đồng phẳng.

Vậy SO, MA, BN đồng quy.

Gọi I là trung điểm của đoạn AA’. Ta có IO // Δ nên tâm O di động trên đường thẳng d cố định đi qua I và song song với ∆ . Mặt cầu tâm O đi qua hai điểm cố định A, A’ , có tâm di động trên đường trung trực d cố định của đoạn AA’. Vậy mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn cố định tâm I có đường kính AA’ nằm trong mặt phẳng AA’ và vuông góc với d.

Xét phương trình:

2(1 + 2t) + (t) + (−2 – 3t) – 1 = 0 ⇔ 2t – 1= 0 ⇔ t = 1/2

Vậy đường thẳng d cắt mặt phẳng ( α ) tại điểm M(2; 1/2; −7/2).

Ta có vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( α ) và vecto chỉ phương của đường thẳng d lần lượt là  n α →  = (2; 1; 1) và  a d →  = (2; 1; −3).

Gọi  a ∆ → là vecto pháp tuyến của Δ, ta có  a ∆ →   ⊥   n α → và  a ∆ → ⊥   a d →

Suy ra  a ∆ → =  n α → ∧   n d → = (−4; 8; 0) hay  a ∆ →  = (1; −2; 0)

Vậy phương trình tham số của ∆ là 

a) Mặt phẳng (M, d) cắt (α) theo giao tuyến M 1 M 2 . Điểm A cũng thuộc giao tuyến đó. Vậy đường thẳng M 1 M 2  luôn luôn đi qua điểm A cố định.

b) Mặt phẳng (M, d) cắt (β) theo giao tuyến BM. Điểm K thuộc giao tuyến đó nên ba điểm K, B, M thẳng hàng.

c) Giả sử b cắt m tại I thì mặt phẳng ( S 1 ,   b ) luôn luôn cắt (α) theo giao tuyến I M 1 . Do đó điểm M 1  di động trên giao tuyến của I M 1  cố định. Còn khi M di động trên b thì mặt phẳng ( S 2 ,   b ) cắt (α) theo giao tuyến I M 2 . Do đó điểm M 2  chạy trên giao tuyến I M 2 cố định.

Hai mặt phẳng (α) và (β) không thể trùng nhau vì nếu chúng trùng nhau thì từ một điểm C ta dựng được hai đường thẳng CA, CB cùng vuông góc với một mặt phẳng, điều đó là vô lí.

Mặt khác (α) và (β) cũng không song song với nhau.

Vì nếu (α) // (β), thì từ CB ⊥ (β) ta suy ra CB ⊥ (α)

Như vậy từ một điểm C ta dựng được hai đường thẳng CA, CB cùng vuông góc với (α), điều đó là vô lí.

Vậy (α) và (β) là hai mặt phẳng không trùng nhau, không song song với nhau và chúng phải cắt nhau theo giao tuyến d, nghĩa là d = (α) ∩ (β)

Từ (1) và (2) suy ra d ⊥ (ABC).