Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng đáy bằng 60 0 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' theo a.
A . 3 a 3 4
B . a 3 12
C . 3 a 3 4
D . a 3 4
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh 3a. Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) là điểm D thỏa mãn D C ⇀ = - 2 D B ⇀ . Góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (A'B'C') bằng 45 0 . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
A . 9 a 3 21 4
B . 3 a 3 21 4
C . 27 a 3 21 4
D . a 3 21 4
Đáp án A.
Theo giả thiết ta có CD' ⊥ (ABC). Áp dụng định lý Cô-sin cho ∆ ABD ta được:
AD =
Hình chiếu vuông góc của AC’ trên mặt phẳng (ABC) là AD, vì vậy ta có góc giữa AC' và mặt phẳng (ABC) là góc C ' A D ^ = 45 0 => ∆ C'AD vuông cân tại D
Diện tích ∆ ABC là
Do đó
Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam tác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng đáy bằng 60 độ. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳn (ACC'A')
Gọi H là trung điểm của AB, \(A'H\perp\left(ABC\right)\) và \(\widehat{A'CH}=60^0\)
Do đó \(A'H=CH.\tan\widehat{A'CH}=\frac{3a}{2}\)
Do đó thể tích khối lăng trụ là \(V_{ABC.A'B'C'}=\frac{3\sqrt{3}a^3}{8}\)
Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên AC; K là hình chiếu vuông góc của H lên A'I. Suy ra :
\(HK=d\left(H,\left(ACC'A'\right)\right)\)
Ta có :
\(HI=AH.\sin\widehat{IAH}=\frac{\sqrt{3}a}{4}\);
\(\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{HI^2}+\frac{1}{HA'^2}=\frac{52}{9a^2}\)
=>\(HK=\frac{3\sqrt{13}a}{26}\)
Do đó \(d\left(B;\left(ACC'A'\right)\right)=2d\left(H;\left(ACC'A'\right)\right)=2HK=\frac{3\sqrt{13}a}{13}\)
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy góc 60 ° . Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
A. V = a 3 3 2
B. V = 3 a 3 3 4
C. V = a 3 3 8
D. V = 3 a 3 3 8
Chọn D.
Phương pháp: Sử dụng công thức tính thể tích lăng trụ.
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, cạnh AC=b, góc ACB= 60 ° . Góc giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng (AA'C'C) bằng 30 ° . Tính theo b diện tích xung quanh của hình lăng trụ ABC.A'B'C'.
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt phẳng (A'BC ) và mặt phẳng ( ABC ) bằng 45 p . Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng
A. 3 a 3 8
B. a 3 3 2
C. a 3 3 4
D. a 3 3 8
Cho hình lăng trụ tam giác đều
ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a, góc
giữa mặt phẳng (A'BC ) và mặt phẳng
( ABC ) bằng 45o. Thể tích của khối
lăng trụ ABC.A'B'C' bằng
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A và A B = A C = a . Biết góc giữa hai đường thẳng AC' và BA' bằng 60°. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' bằng BC bằng a 3 4 . Tính theo thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.
A. V = a 3 3 24
B. V = a 3 3 12
C. V = a 3 3 6
D. V = a 3 3 3
Chọn B.
Gọi M,G lần lượt là trung điểm của BC và trọng tâm G của tam giác ABC.
Do tam giác ABC đều cạnh a nên
Trong mặt phẳng (AA'M) kẻ MH ⊥ AA'. Khi đó:
Vậy MH là đoạn vuông góc chung của AA' và BC nên MH = a 3 4 .
Trong tam giác AA'G kẻ
Xét tam giác AA'G vuông tại G ta có:
Vậy thể tích của khối lăng trụ đã cho là
Cho lăng trụ tam giác đều ABCDA'B'C'D' có cạnh đáy bằng a góc giữa đường thẳng AC' và mặt phẳng đáy bằng 60 ° Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A'B'C'D' theo a .
A. 3 a 3 4
B. a 3 12
C. 3 a 3 4
D. a 3 4
Đáp án A
A ' C ; ( A ' B ' C ' = A ' C ; A ' C ' = ∠ C A ' C ' = 60 0 C C ' = A ' C ' . tan 60 0 = a 3 V A B C . A ' B ' C ' = C C ' . S A ' B ' C ' = a 3 a 2 3 4 = 3 a 3 4