trường hợp : ab = cd + 1

ta có a+ b = c + d

=> b.(a+b) = b(c+d) => a.b + b 2 = bc + bd mà ab = cd + 1

nên cd + 1 + b 2 = bc + bd => bc - cd + bd - b 2 = 1 => c(b - d) + b.(d - b) = 1 => (c - b)(b - d) = 1 . Vì a, b, c, d nguyên nên c - b và b - d cũng nguyên. do đó c - b = b - d = 1 hoặc c - b = b -d = -1

c - b = b - d => c + d = 2.b Mà c + d = a+ b => 2.b = a+ b => b = a => đpcm

Trường hợp 2: ab = cd - 1: tương tự 

a) Ta có: \(\dfrac{3+x}{7+y}=\dfrac{3}{7}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+3}{3}=\dfrac{y+7}{7}\)

mà x+y=20

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x+3}{3}=\dfrac{y+7}{7}=\dfrac{x+y+3+7}{3+7}=\dfrac{20+10}{10}=3\)

Do đó:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+3}{10}=3\\\dfrac{y+7}{7}=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3=30\\y+7=21\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=27\\y=14\end{matrix}\right.\)

Vậy: x=27; y=14

Từ a+b = c+d suy ra d = a+b-c

                                  Vì tích ab liền sau của tích cd nên ab = cd + 1 hay ab - cd = 1

                                   ab - c.(a+b-c) = 1

                                     ab - ac - cb + c² = 1

                                      a.(b - c) - c.(b -c) = 1

                                        (b-c) .(b+c) = 1

                                       suy ra a-c = b-c ( vì  cùng bằng 1 hoặc -1) suy ra a=b (DPCM)