Chọn đáp án A

\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{4}\)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên đáy

Do \(SA=SB=SC\Rightarrow HA=HB=HC\Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Mà ABC vuông tại A \(\Rightarrow H\) là trung điểm BC

\(\Rightarrow BH=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{a}{2}\)

\(\Rightarrow SH=\sqrt{SB^2-BH^2}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\)

\(V=\dfrac{1}{3}SH.\dfrac{1}{2}AB.AC=\dfrac{1}{3}.\dfrac{a\sqrt{15}}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{4}=\dfrac{a^3\sqrt{5}}{32}\)

Lời giải:

Gọi $H$ là chân đường cao kẻ từ $S$ xuống mặt phẳng $(ABC)$

Ta có \(\left\{\begin{matrix} SH\perp AB\\ SA\perp AB\end{matrix}\right.\Rightarrow AB\perp (SHA)\rightarrow AB\perp HA\)

Tương tự \(BC\perp HC\). Kết hợp với \(ABC\) vuông cân tại $B$ suy ra \(ABCH\) là hình vuông

Có \(AH\parallel (SBC)\Rightarrow d(A,(SBC))=d(H,(SBC))\)

Kẻ \(HT\perp SC\). Có \(\left\{\begin{matrix} SH\perp BC\\ HC\perp BC\end{matrix}\right.\Rightarrow BC\perp (SHC)\Rightarrow BC\perp HT\)

Do đó \(HT\perp (SBC)\Rightarrow d(H,(SBC))=HT=\sqrt{\frac{SH^2.HC^2}{SH^2+HC^2}}=\sqrt{\frac{SH^2.AB^2}{SH^2+AB^2}}=\sqrt{2}\Rightarrow SH=\sqrt{6}a\)

Từ trung điểm $O$ của $AC$ dựng trục vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Trên trục đó ta lấy điểm $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

\(IS^2=IA^2=IH^2\Leftrightarrow (\overrightarrow{IO}+\overrightarrow{OH}+\overrightarrow{HS})^2=IO^2+OH^2\)

\(\Leftrightarrow HS^2+2\overrightarrow{IO}.\overrightarrow{HS}=0\)

Do \(\overrightarrow {SH}\parallel \overrightarrow {IO}\Rightarrow \overrightarrow {IO}=k\overrightarrow{SH}\). Thay vào PT trên có $k=\frac{1}{2}$

\(\Rightarrow IO=\frac{\sqrt{6}a}{2}\Rightarrow IA=\sqrt{IO^2+AO^2}=\sqrt{3}a\)

\(\Rightarrow S_{\text{mặt cầu}}=4\pi R^2=12a^2\pi\)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên đáy \(\Rightarrow\) H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi M là trung điểm BC, do tam giác cân tại A \(\Rightarrow H\in AM\)

Kéo dài AM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại D \(\Rightarrow\widehat{ABD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\(\Rightarrow\Delta ABD\) vuông tại B

\(BM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{3a}{2}\)  \(\Rightarrow AM=\sqrt{AB^2-BM^2}=\dfrac{a\sqrt{7}}{2}\)

Áp dụng hệ thức lượng:

\(AB^2=AM.AD\Rightarrow AD=\dfrac{AB^2}{AM}=\dfrac{8a\sqrt{7}}{7}\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{4a\sqrt{7}}{7}\)

\(\Rightarrow SH=\sqrt{SA^2-AH^2}=\dfrac{2a\sqrt{21}}{7}\)

\(V=\dfrac{1}{3}SH.\dfrac{1}{2}AM.BC=...\)

Do SABC là hình chóp đều=>hình chiếu của S lên (ABC) là tâm I củađường tròn ngoại tiếp tam giác ABC=> SI vuông góc với (ABC)

xét tam giác SAI vuông tạị I , biết SA, AI=2/3 AM(là đường cao tgiacs ABC)=> tính được SI

V=1/3. SI.S(ABC)=(căn 11)/12

b) trong (ABC) kẻ hình bình hành AINB

d(AM,SB)=d(AI,SB)=d(I,SBN)( do AI song song AN)=> đưa về tính khoang cách trong tứ diện vuông cơ bản

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên đáy

\(\Rightarrow\widehat{SAH}=\widehat{SBH}=\widehat{SCH}=60^0\)

\(\Rightarrow AH=BH=CH=\dfrac{SH}{tan60^0}\Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy

\(\Rightarrow AH=R=\dfrac{AB.BC.AC}{4S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow SH=AH.tan60^0=\dfrac{AB.BC.AC.\sqrt{3}}{4S_{ABC}}\)

\(V=\dfrac{1}{3}SH.S_{ABC}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{AB.BC.CA.\sqrt{3}}{4S_{ABC}}.S_{ABC}=\dfrac{5a^3\sqrt{3}}{12}\)

Chọn A