Cho hình chóp tứ giác đều S . A B C D có cạnh đáy bằng a tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng A B C D bằng 60 0 . Tính cosin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ( S B D ) .
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 ° . Tính cosin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (SBD)
A. 41 41
B. 5 5
C. 2 5 5
D. 2 41 41
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh SA và BC, biết MN = a 6 2 . Khi đó giá trị sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD) bằng
A. 2 5 .
B. 3 3 .
C. 5 5 .
D. 3 .
Chọn B
Gọi I là hình chiếu của M lên (ABCD), suy ra I là trung điểm của AO.
Khi đó
Xét tam giác CNI có
Áp dụng định lý cosin ta có:
Xét tam giác MIN vuông tại I nên
Mà MI//SO
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có:
Khi đó
Vectơ pháp tuyến mặt phẳng (SBD)
Suy ra
Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và DM là:
A . a 15 62
B . a 30 31
C . a 15 68
D . a 15 17
Gọi I là trung điểm OA. Vì IM// SO ⇒ IM⊥(ABCD) nên hình chiếu của MN lên (ABCD) là IN. Suy ra
Áp dụng định lí cô sin trong ΔCIN, ta có:
Ta có d(BC, DM) = d(BC, (SAD)) = d(N, (SAD)) = 2d(O, (SAD)) = 2d(O, (SBC)).
Kẻ OE ⊥ SN ⇒ OE ⊥ (SBC).
Ta có d(O, (SBC)) = OE mà
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và DM là:
A. a 15 62
B. a 30 31
C. a 15 68
D. a 15 17
Đáp án B
Ta có M N , A B C D = ^ M N H ^ = 60 0 , N H = 3 a 4 2 + a 4 2 = a 10 4 ⇒ M H = a 30 4 ⇒ S O = a 30 2
Gọi I là trung điểm của AD
Kẻ O K ⊥ S I ⇒ d B C , D M = d B C , S A D = d C , S A D = 2 d M , S A D = 2 O K .
Ta có 1 O K 2 = 1 O I 2 + 1 O S 2 = 1 a 2 2 + 1 a 30 2 2 = 124 30 a 2 ⇒ O K = a 30 2 31 .
Vậy d B C , D M = 2 O K = a 30 31 .
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết góc giữa MN và mặt phẳng (ABCD) bằng 60 0 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và DM là:
Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 1. Gọi E,F lần lượt là trung điểm các cạnh SA và BC Biết rằng E F = 6 2 sin của góc giữa đường thẳng EF và mặt phẳng (SPD) bằng
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 1. Gọi E, F lần lượt là trung điểm các cạnh SA và BC. Biết rằng E F = 6 2 sin của góc giữa đường thẳng EF và mặt phẳng (SPD) bằng
A. 3 3
B. 6 3
C. 42 12
D. 102 12
Chọn gốc toạ độ tại O = A C ∩ B D các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia OC, OB, OS. Ta có O(0;0;0), A - 2 2 ; 0 ; 0 , B 0 ; 2 2 ; 0 C 2 2 ; 0 ; 0 , D 0 ; - 2 2 ; 0 , S(0;0;h)
Khi đó
Do đó
Chọn đáp án A.
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng
A. 60 0 .
B. 90 0 .
C. 45 0 .
D. 75 0 .
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng
A. 60 °
B. 90 °
C. 45 °
D. 75 °
Chọn B.
Gọi H = DF ∩ SA => H là trung điểm của ED. I = AC ∩ BD => I là trung điểm BD
Vậy HI là đường trung bình của tam giác BED => HI//EB(1)
Ta có (chóp tứ giác đều, hình chiếu của đỉnh S xuống đáy là I)
Gọi Q à trung điểm AB; dễ thấy NQ là đường trung bình của tam giác ABE => NQ//BE.
Gọi M là trung điểm BC; dễ thấy MQ//AC ,
Ta có
Góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng 90 °