\(f'\left(x\right)=4x^3-4x=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Để \(g\left(x\right)_{min}>0\Rightarrow f\left(x\right)=0\) vô nghiệm trên đoạn đã cho

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-m< -2\\-m>7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< -7\end{matrix}\right.\)

\(g\left(0\right)=\left|m-1\right|\) ; \(g\left(1\right)=\left|m-2\right|\) ; \(g\left(2\right)=\left|m+7\right|\)

Khi đó \(g\left(x\right)_{min}=min\left\{g\left(0\right);g\left(1\right);g\left(2\right)\right\}=min\left\{\left|m-2\right|;\left|m+7\right|\right\}\)

TH1: \(g\left(x\right)_{min}=g\left(0\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|m-2\right|\le\left|m+7\right|\\\left|m-2\right|=2020\\\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ge\dfrac{5}{2}\\\left|m-2\right|=2020\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=2022\)

TH2: \(g\left(x\right)_{min}=g\left(2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|m+7\right|\le\left|m-2\right|\\\left|m+7\right|=2020\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\le\dfrac{5}{2}\\\left|m+7\right|=2020\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=-2027\)

Đáp án A.

Ta có f ' ( x ) = = cos x - 2 m cos 2 x - cos 3 x + 2 m = cos x - cos 3 x - 2 m ( cos 2 x - 1 )  

Hàm số có f ' ( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ ℝ ⇔ cos x - cos 3 x ≥ 2 m cos 2 x - 1 , ∀ x ∈ ℝ . (*)

Với cos 2 x = 1  thì thỏa mãn (*).

Với cos 2 x ≢ 1  thì ⇔ cos x - cos 3 x cos 2 x - 1 ≤ 2 m , ∀ x ∈ ℝ .

Đặt cos x - cos 3 x cos 2 x - 1 = g ( x ) . Để g ( x ) ≤ 2 m , ∀ x ∈ ℝ ,  thì 2 m ≥ m a x R   g ( x ) .

Sử dụng máy tính cầm tay ta có

Từ bảng giá trị kết hợp với phương án thì ta suy ra

m a x ℝ   g ( x ) = 2 ⇔ 2 m ≥ 2 ⇔ m ≥ 1 .

Đạo hàm f'(x) =  m 2 - m + 1 ( x + 1 ) 2 > 0,  ∀ x   ∈   [ 0 ; 1 ]  

Suy ra hàm số f(x)  đồng biến trên [0; 1] nên min f(x) = f(0) = -m²+m

Theo bài ta có:

-m²+ m= -2 nên m= -1 hoặc m= 2.

Chọn D.

Đáp án D

Phương pháp:

Đánh giá số nghiệm của phương trình f(x) = m + 1 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) và đường thẳng y = m + 1

Cách giải:

Số  nghiệm của phương trình f(x) = m + 1 bằng số giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x)

và đường thẳng y = m + 1

Để f(x) = m + 1 có 3 nghiệm thực phân biệt thì –2 < m+1 < 4 ó –3 < m < 3

Ta có \(f\left(x\right)>0,\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-x^2-2\left(m-1\right)x+2m-1>0,\forall x\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\left(x-1\right)>x^2-2x+1,\forall x\in\left(0;1\right)\) (*)

Vì \(x\in\left(0;1\right)\Rightarrow x-1< 0\) nên (*) \(\Leftrightarrow-2m< \dfrac{x^2-2x+1}{x-1}=x-1=g\left(x\right),\forall x\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow-2m\le g\left(0\right)=-1\Leftrightarrow m\ge\dfrac{1}{2}\)

Chọn B

+ Đạo hàm f'(x) =  2 - m x 2 ( x + 1 ) x ( x + 1 )

f'(x) = 0  ⇒ x   =   2 m     ↔   x   =   m 2 4   ∈ [   0 ; 4 ] ,  ∀ m > 1

+ Lập bảng biến thiên, ta kết luận được  

m a x [ 0 ; 4 ]   f ( x )   =   f ( 4 m 2 )   =   m 2   + 4

+ Vậy ta cần có  m 2 + 4   <   3  

↔   m < 5   →   m > 1     m   ∈ ( 1 ; 5 )

Chọn C.

Đáp án B

Phương trình f(x) = f(m) có ba nghiệm phân biệt  ⇔ - 2 < f ( m ) < 2 ⇒ - 1 < m < 3 m ≠ 0 ; 2