Gọi ƯCLN của tử và mẫu là d. 

Ta có : \(12n+1⋮d\) hay \(60n+5⋮d\)

             \(30n+2⋮d\) hay \(60n+4⋮d\)

=> \(60n+5-60n-4⋮d\) hay \(1⋮d\)

=> d=1 vậy phân số tối giản.

hai phân số đó không thể Cung chia hết cho một số tự nhiên nao lớn hơn 1 nên là phân số tối giản

Gọi Ư(n+1;2n+3) = d ( \(d\in\)N*) 

\(n+1=2n+2\left(1\right);2n+3\left(2\right)\)

Lấy (2 ) - (1) ta được : \(2n+3-2n+2=1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy ta có đpcm 

Gọi Ư\(\left(3n+2;5n+3\right)=d\)( d \(\in\)N*)

\(3n+2=15n+10\left(1\right);5n+3=15n+9\left(2\right)\)

Lấy (!) - (2) ta được : \(15n+10-15n-9=1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy ta có đpcm 

a) Gọi \(d\) là UCLN \(\left(n+1,2n+3\right)\left(d\in N\right)\)

Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow2n+3-\left(2n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)

b) Gọi \(d\) là \(UCLN\left(2n+3,4n+8\right)\left(d\in N\right)\)

Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}4n+6⋮d\\4n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow4n+8-\left(4n+6\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2⋮d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;2\right\}\)

Mà 2n+3 là số lẻ nên

\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)

c) Gọi \(d\) là \(UCLN\left(3n+2;5n+3\right)\left(d\in N\right)\)

Ta có : \(\left[{}\begin{matrix}3n+2⋮d\\5n+3⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}15n+10⋮d\\15n+9⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow15n+10-\left(15n+9\right)⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\left(đpcm\right)\)

a: Gọi d là ước chung lớn nhất của 3n+4 và n+1

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3n+4⋮d\\n+1⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3n+4⋮d\\3n+3⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(3n+4-3n-3⋮d\)

=>\(1⋮d\)

=>d=1

=>n+1 và 3n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau

b: Gọi d là ước chung lớn nhất của 7n+10 và 5n+7

=>\(\left\{{}\begin{matrix}7n+10⋮d\\5n+7⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}35n+50⋮d\\35n+49⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(35n+50-35n-49⋮d\)

=>\(1⋮d\)

=>d=1

=>7n+10 và 5n+7 là hai số nguyên tố cùng nhau

c: Gọi d là ước chung lớn nhất của 14n+3 và 21n+4

=>\(\left\{{}\begin{matrix}14n+3⋮d\\21n+4⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}42n+9⋮d\\42n+8⋮d\end{matrix}\right.\)

=>\(42n+9-42n-8⋮d\)

=>\(1⋮d\)

=>d=1

=>14n+3 và 21n+4 là hai số nguyên tố cùng nhau

Hướng làm thôi nhé.

a) 2n+2 với 2n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau => n+1 cũng nguyên tố cùng nhau với 2n+3

b) Do 2n+3 và 2n+4 là số nguyên tố cùng nhau và 2n+3 không chia hết cho 2 nên 2n+3 và 4n+8 là 2 số nguyên tố cùng nhau

Nguyễn Như Nam ơi thật ra tớ chẳng hiểu cậu nói gì

Ặc..... =.=

Để chị nói rõ cho ..... học lớp 7 mà *oai*

a) Theo đề ra, ta có: \(\frac{n+1}{2n+3}\) ...... Nếu n+1 và 2n+3 là phân số tối giản thì 2 số này nguyên tố cùng nhau.....

Nhân 2 với phân số, ta có: \(\frac{2n+2}{2n+3}\)...... Ta thấy do n là sô tự nhiên nên 2n+2 và 2n+3 là 2 số liên tiếp nên 2 số này nguyên tố cùng nhau nên \(\frac{2n+2}{2n+3}\) là phân số tối giản nên nên số kia cũng tối giản dó 2n+2=2(n+1) ......

P/s: Em thấy á..... cái phân số khi được nhân 2 thì được tạo thêm cơ hội là một phân số không tối giản nhưng nó vẫn tối giản nên cái phân số đầu là tối giản.

b) Tương tự nhưng là ở phần tử số .... 

1,

A = n^5 - 5n^3 + 4n = n.(n^4 - 5n^2+4)
= n.( n^4 - 4n^2 - n^2 + 4)
= n.[ n^2.(n^2 - 1) - 4.(n^2 - 1)
= n.(n^2) . (n^2 - 4)
= n.(n-1).(n+1).(n+2).(n-2)
 A chia hết cho 120 (vìđây là 5 số liên tiếp, vì thế nó chia hết cho 2, 3, 4, 5. Mà 2.3.4.5=120 nên A chia hết cho 120 Với mọi n thuộc Z.)

n^3 - n = n (n^2 - 1 ) = n(n - 1 )(n + 1 )

ta thấy n(n - 1)(n + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 (đpcm)

a) n³ - n

= n.(n² - 1)

= n.(n - 1).(n + 1)

Vì n.(n - 1).(n + 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp 

=> n.(n - 1).(n + 1) chia hết cho 2 và 3

Mà (2;3)=1 => n.(n - 1).(n + 1) chia hết cho 6

=> n³ - n chia hết cho 6 (đpcm)

b) 55ⁿ⁺¹ - 55ⁿ 

= 55ⁿ.55 - 55ⁿ 

= 55ⁿ.(55 - 1)

= 55ⁿ.54 chia hết cho 54 (đpcm)

Bài 1:

Ta có: \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)\)

\(=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n\)

\(=6n⋮6\)

1) \(2n^2\left(n+1\right)-2n\left(n^2+n-3\right)=2n^3+2n^2-2n^3-2n^2+6n=6n⋮6\forall n\in Z\)

2) \(n\left(3-2n\right)-\left(n-1\right)\left(1+4n\right)-1=3n-2n^2-4n^2+3n+1-1=-6n^2+6n=6\left(-n^2+n\right)⋮6\forall n\in Z\)