Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đường cao AD,BE,CF cắt (O) theo thứ tự M,N,K. CMR
\(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=4\)
Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đường cao AD,BE,CF cắt (O) tại M,N,K.
CMR: \(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=4\)
CHO TAM GIÁC ABC NỘI TIẾP ĐƯỜNG TRÒN TÂM O. CÁC ĐƯỜNG CAO AD,BE,CF CẮT ĐƯỜNG TRÒN TÂM O LẦN LƯỢT TẠI M,N,K. CMR:\(\frac{AM}{AD}\)+\(\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=4\)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O đường cao AD,BE,CF cắt đường tròn theo thứ tự ở M , N , K . CMR : AM/AD + BN/BE + CK/CF =4
a) Ta thấy \(\widehat{BAM}=\widehat{BCM}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{ABC}\) )
Vậy nên \(\widebat{KB}=\widebat{MB}\), suy ra \(\widehat{KCB}=\widehat{MCB}\) (Hai góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)
Gọi giao điểm của ba đường cao là H.
Xét tam giác MHC có CD là đường cao đồng thời là phân giác nên tam giác MHC cân tại C.
Vậy thì CD cũng là trung tuyến hay DM = DH.
Ta có \(\frac{AM}{AD}=\frac{AD+DM}{AD}=1+\frac{DM}{AD}=1+\frac{DH}{AD}\)
Tương tự \(\frac{BN}{BE}=1+\frac{HE}{BE};\frac{CK}{CF}=1+\frac{FH}{CF}\)
Ta có \(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=3+\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}\)
Lại thấy rằng \(\frac{DH}{AD}=\frac{S_{HBC}}{S_{ABC}};\frac{HE}{BE}=\frac{S_{HAC}}{S_{ABC}};\frac{HF}{CF}=\frac{S_{HAB}}{S_{ABC}}\)
nên \(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=\frac{S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)
Vậy thì \(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CK}{CF}=3+1=4\)
cho tam giác abc có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm o.các đường cao ad, be, cr cắt đường tròn tâm o tại m,n,k. CMR: am/ad+bn/be+ck/cf=4
Tam giác ABC nội tiếp đường tròn O, các đường cao AD,BE,CF cắt đường tròn tâm O theo thứ tự M,N,K
Chứng minh: \(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=4\)
Câu hỏi của toán khó mới hay - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath
Ta có SABC=\(\dfrac{AD.BC}{2}\)
Tứ giác ABMC có AM⊥BC⇒SABMC=\(\dfrac{AM.BC}{2}\)
Suy ra \(\dfrac{S_{ABMC}}{S_{ABC}}=\dfrac{AM}{AD}\)
Chứng minh tương tự: \(\dfrac{S_{ABCN}}{S_{ABC}}=\dfrac{BN}{BE}\)
\(\dfrac{S_{ACBK}}{S_{ABC}}=\dfrac{CK}{CF}\)
Vậy \(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=\dfrac{S_{ABMC}+S_{ABCN}+S_{ACBK}}{S_{ABC}}=\dfrac{S_{ABC}+S_{BMC}+S_{ABC}+S_{ANC}+S_{ABC}+S_{ABK}}{S_{ABC}}=3+\dfrac{S_{BMC}+S_{ANC}+S_{AKB}}{S_{ABC}}\)(1)
Gọi H là giao điểm của AD,BE,CF ta có
\(\widehat{MBD}=\widehat{MBC}=\widehat{MAC}\)(cùng chắn cung MC)=\(\widehat{EAH}=90^0-\widehat{AHE}=90^0-\widehat{BHD}=\widehat{HBD}\)
Lại có BD là cạnh chung
\(\widehat{BDH}=\widehat{BDM}=90^0\)
Suy ra △BHD=△BMD(cạnh huyền, góc nhọn)\(\Rightarrow HD=MD\Rightarrow S_{BMC}=\dfrac{MD.BC}{2}=\dfrac{HD.BC}{2}=S_{BHC}\)
Chứng minh tương tự: \(S_{ANC}=S_{AHC}\)
\(S_{AKB}=S_{AHB}\)
Vậy \(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=3+\dfrac{S_{BMC}+S_{AKB}+S_{ANC}}{S_{ABC}}=3+\dfrac{S_{BHC}+S_{ABH}+S_{AHC}}{S_{ABC}}=3+\dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=3+1=4\)
Vậy \(\dfrac{AM}{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=4\)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) các đường cao AD, BE, CF cắt đường tròn thứ tự tại M,N,K. Chứng minh rằng: \(\dfrac{AM }{AD}+\dfrac{BN}{BE}+\dfrac{CK}{CF}=4\)
Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.Gọi M, N, S theo thứ tự là điểm đối xứng của H qua BC, CA, AB.
CMR \(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CS}{CF}=4\)
Lời giải:
\(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CS}{CF}=4\Leftrightarrow \frac{DM}{AD}+\frac{EN}{BE}+\frac{FS}{CF}=1\)
\(\Leftrightarrow \frac{HD}{AD}+\frac{EH}{BE}+\frac{HF}{CF}=1\) \((\star)\)
Gọi diện tích của các tam giác \(AFH, BFH, BHD, DHC, EHC, AEH\) lần lượt là \(a,b,c,d,e,f\)
Ta có :
\(\left\{\begin{matrix} \frac{DH}{AD}=\frac{S_{BHD}}{S_{BAD}}=\frac{S_{CHD}}{S_{ADC}}\\ \frac{EH}{BE}=\frac{S_{AEH}}{S_{ABE}}=\frac{S_{CHE}}{S_{EBC}}\\ \frac{HF}{CF}=\frac{S_{BFH}}{S_{BFC}}=\frac{S_{FAH}}{S_{FAC}}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \frac{DH}{AD}=\frac{c}{a+b+c}=\frac{d}{e+f+d}=\frac{c+d}{a+b+c+d+e+f}\\ \frac{EH}{BE}=\frac{f}{a+b+f}=\frac{e}{e+c+d}=\frac{e+f}{a+b+c+d+e+f}\\ \frac{HF}{CF}=\frac{b}{b+c+d}=\frac{a}{a+f+e}=\frac{a+b}{a+b+c+d+e+f}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \frac{DH}{AD}+\frac{EH}{BE}+\frac{HF}{CF}=1\)
Ta có \((\star)\) nên phép cm hoàn tất.
Cho tam giác ABC có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.Gọi M, N, S theo thứ tự là điểm đối xứng của H qua BC, CA, AB.
CMR \(\frac{AM}{AD}+\frac{BN}{BE}+\frac{CS}{CF}\)=4
Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đường cao AD,BE,CF cắt (O) tại M,N,K.
CMR: \(\frac{DH}{DA}+\frac{EH}{EB}+\frac{FH}{FC}=1\)