Dễ thôi sử dụng đồng dư

Ta có: \(\left(4^n+6^n+8^n+10^n\right)\equiv2^n+2^n+2^n+2^n=2^n\cdot4\)(mod 2)

Tương tự: \(\left(3^n+5^n+7^n+9^n\right)\equiv1+1+1+1=4\)( mod 2)

Suy ra: \(A=\left(4^n+6^n+8^n+10^n\right)-\left(3^n+5^n+7^n+9^n\right)\equiv2^n\cdot4-4=2\left(2^{n+1}-2\right)\)(mod 2)

Vậy \(A⋮2\)

Thank

mình chưa hiễu chỗ ...=2^n+2^n+2^n+2^n

và chỗ ...=1+1+1+1

Tham khảo bài làm nhé bạn : 

Câu hỏi của Nguyễn Thị Ngọc Anh - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath

^^

a) \(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)=2n^2-3n-2n^2-2n=-5n⋮5\curlyvee n\)

b) \(\left(n-1\right)\left(n+4\right)-\left(n-4\right)\left(n+1\right)=n^2+4n-n-4-n^2-n+4n-4=6n-8\curlyvee n\)

a)

\(n\left(2n-3\right)-2n\left(n+1\right)\\ =n\left(2n-3\right)-n\left(2n+2\right)\\ =n\left(2n-3-2n-2\right)\\ =-5n⋮5\)

5A = 1/5 + 2/5^2 +3/5^3 +...+ 11/5^11

=> 4A= 1/5+1/5^2 +1/5^3 +...+1/5^11 - 11/5^12

=> 20A = 1+1/5+1/5^2+...+1/5^10 - 11/5^11

=> 16A = 1-1/5^11+11/5^12-11/5^11

Vì 1-1/5^11  <  1 ; 11/5^12 -11/5^11 < 0

=> 16A < 1

=> A < 1/16

\(A=n\left(n^2+1\right)\left(n^2+4\right)\)

\(A=\left(n^3+n\right)\left(n^2+4\right)\)

\(A=n^6+4n^3+n^3+4n\)

\(A=n^6+5n^3+4n⋮5\)

Vậy .......

Bài nào vậy bạn 

Ta có: 

\(A=n\left(n^2+1\right)\left(n^2+4\right)\)

\(A=n^5+5n^3+4n\)

\(A=\left(5n^3+5n\right)+\left(n^5-n\right)\)

\(A=5\left(n^3+n\right)+\left(n^5-n\right)\)

Vì \(5\left(n^3+n\right)\) chia hết cho 5 nên ta đi CM \(n^5-n\) chia hết cho 5

Ta có: \(n^5-n\)

\(=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left[\left(n^2-4\right)+5\right]\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì n ; n+1 ; n+2 ; n-1 ; n-2 là 5 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại 1 số chia hết cho 5

=> \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho 5

Mà \(5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) chia hết cho 5

=> \(n^5-n\) chia hết cho 5

=> A chia hết cho 5