Chọn C

Dựa vào giả thiết ta có B', C', D' lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SC, SD.

Tam giác SAC vuông cân tại A nên C' là trung điểm của SC.

Trong tam giác vuông SAB' ta có:

Kẻ \(BK\perp AC\Rightarrow BK\perp\left(SAC\right)\)

\(\Rightarrow BK=d\left(B;\left(SAC\right)\right)\)

\(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AC^2}\Rightarrow BK=\dfrac{AB.AC}{\sqrt{AB^2+AC^2}}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Kẻ \(CP\perp BH\Rightarrow CP\perp\left(SBH\right)\)

\(\Rightarrow CP=d\left(C;\left(SBH\right)\right)\)

\(\widehat{CBP}=\widehat{ACB}=30^0\Rightarrow CH=BC.sin30^0=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

\(BH=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{AB^2+AC^2}=a\)\(\Rightarrow SH=\sqrt{SB^2-BH^2}=a\)

Kẻ \(HE\perp BC\) , kẻ \(HF\perp SE\Rightarrow HF=d\left(H;\left(SBC\right)\right)\)

\(HE=CH.sin30^0=\dfrac{a}{2}\) 

\(\dfrac{1}{HF^2}=\dfrac{1}{SH^2}+\dfrac{1}{HE^2}\Rightarrow HF=\dfrac{SH.HE}{\sqrt{SH^2+HE^2}}=\dfrac{a\sqrt{5}}{5}\)

Đáy là hình vuông hay chữ nhật bạn? Hình chữ nhật sao có các cạnh bằng nhau và bằng a được? 

Chắc đề là \(SM=a\sqrt{3}\) vì không có điểm H nào trong dữ liệu

\(BC=AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=a\sqrt{2}\)

a.

Qua M kẻ đường thẳng song song BC cắt CD tại E

\(\Rightarrow CD\perp ME\Rightarrow CD\perp\left(SME\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{SEM}\) là góc giữa (SCD) và (ABCD)

Áp dụng định lý talet trong tam giác BCD:

\(\dfrac{EM}{BC}=\dfrac{DM}{BD}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow EM=\dfrac{3}{4}BC=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}\)

\(\Rightarrow tan\widehat{SEM}=\dfrac{SM}{EM}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\)

\(\Rightarrow\widehat{SEM}\approx58^031'\)

b.

\(BC||AD\Rightarrow BC||\left(SAD\right)\)

\(\Rightarrow d\left(BC;AD\right)=d\left(BC;\left(SAD\right)\right)=d\left(B;\left(SAD\right)\right)\)

Lại có: BM cắt (SAD) tại D, mà \(BD=\dfrac{4}{3}MD\)

\(\Rightarrow d\left(B;\left(SAD\right)\right)=\dfrac{4}{3}d\left(M;\left(SAD\right)\right)\)

Trong mp (ABCD), từ M kẻ \(MH\perp AD\)

Trong mp (SMH), từ M kẻ \(MK\perp SH\)

\(\Rightarrow MK\perp\left(SAD\right)\Rightarrow MK=d\left(M;\left(SAD\right)\right)\)

Talet cho tam giác ABD:

\(\dfrac{MH}{AB}=\dfrac{MD}{BD}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow MH=\dfrac{3}{4}AB=\dfrac{3a}{4}\)

Hệ thức lượng trong tam giác vuông SMH:

\(MK=\dfrac{SM.MH}{\sqrt{SM^2+MH^2}}=\dfrac{3a\sqrt{19}}{19}\)

\(\Rightarrow d\left(SD;BC\right)=\dfrac{4}{3}MK=\dfrac{4\sqrt{19}}{19}\)

c.

Qua B kẻ đường thẳng d song song AC

Trong mp (ABCD), từ M hạ \(MF\perp d\)

\(AC||d\Rightarrow AC||\left(SBF\right)\Rightarrow d\left(AC;SB\right)=d\left(AC;\left(SBF\right)\right)=d\left(O;\left(SBF\right)\right)\)

Mà \(OM\) cắt \(\left(SBF\right)\) tại B đồng thời \(OB=2MB\)

\(\Rightarrow d\left(O;\left(SBF\right)\right)=2d\left(M;\left(SBF\right)\right)\)

Trong mp (SMF), từ M hạ \(MI\perp SF\)

\(\Rightarrow MI\perp\left(SBF\right)\Rightarrow MI=d\left(M;\left(SBF\right)\right)\)

Ta có: \(\widehat{MBF}=\widehat{AOB}\) (so le trong)

\(cos\widehat{AOB}=\dfrac{OA^2+OB^2-AB^2}{2OA.OB}=\dfrac{1}{3}\)

\(\Rightarrow cos\widehat{MBF}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow MF=BM.cos\widehat{MBF}=\dfrac{1}{4}BD.\dfrac{1}{3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{12}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SMF:

\(MI=\dfrac{SM.MF}{\sqrt{SM^2+MF^2}}=...\)

\(\Rightarrow d\left(SB;AC\right)=2MI=...\)

Chọn C

Gọi R và r lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. BHD và tam giác BHD.

Ta có HB= a 2 2 , H D = H C 2 + D C 2 = a 2 2 2 + a 2 = a 6 2 , B D = a 2 + 2 a 2 = a 3

Áp dụng định lí Cô sin, ta có 

cos B H D ^ = a 2 2 + 3 a 2 2 - 3 a 2 2 . a 2 2 a 6 2 = - 1 3 ⇒ sin B H D ^ = 2 3

Diện tích tam giác BHD là

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD và M là trung điểm SH. Mặt phẳng trung trực của SH cắt trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD tại E. Khi đó E là tâm mặt cầu cần tìm.

Ta có

Cần gấp ạaaaa

Của cậu nek!!!

THAM KHẢO:

CD//AB nên góc giữa SB và CD là góc giữa AB và SB, \(\widehat{ABS}\)

CB//AD nên góc giữa SD và CB là góc giữa SD và AD, \(\widehat{ADS}\)

Ta có: tan\(\widehat{ABS}\)=tan\(\widehat{ADS}\)=\(\dfrac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\)

Suy ra \(\widehat{ABS}\)=\(\widehat{ADS}\)=\(\dfrac{\pi}{3}\)