Cho mặt cầu (S) có bán kính R không đổi, hình nón (H) bất kỳ nội tiếp mặt cầu (S) Thể tích khối nón (H) là V 1 thể tích phần còn lại của khối cầu là V 2 Giá trị lớn nhất của V 1 V 2 bằng:
A. 81 32
B. 76 32
C. 32 81
D. 32 76
Cho mặt cầu (S) có bán kính R không đổi, hình nón (H) bất kỳ nội tiếp mặt cầu (S). Thể tích khối nón (H) là V 1 thể tích phần còn lại của khối cầu là V 2 Giá trị lớn nhất của V 1 V 2 bằng:
A. 81 32
B. 76 32
C. 32 81
D. 32 76
Đáp án D
Kí hiệu như hình vẽ bên
Chuẩn hóa R = 1 và gọi r,h lầm lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón
⇒ Thể tích khối nón là V 1 = 1 3 π r 2 h
Tam giác AMK vuông tại K, có:
I K 2 = I M . I A ⇔ r 2 = h 2 R − h = h 2 − h
Để V 1 V 2 lớn nhất ⇔ V 2 V 1 = V C − V 1 V 1 = V C V 1 − 1 nhỏ nhất ⇔ V 1 đạt giá trị lớn nhất
Khi đó V 1 = π 3 h 2 2 − h ≤ π 3 . 32 27 = 32 π 81 (khảo sát hàm số f h = 2 h 2 − h 3 ) )
Vậy tỉ số:
V 1 V 2 = 1 : V C V 1 − 1 = 1 : 4 π 3 : 32 π 81 − 1 = 8 19
Cho mặt cầu (S) có bán kính R không đổi, hình nón (H) bất kỳ nội tiếp mặt cầu (S). Thể tích khối nón (H) là V 1 thể tích phần còn lại của khối cầu là V 2 . Giá trị lớn nhất của V 1 V 2 bằng:
A. 81 32
B. 76 32
C. 32 81
D. 32 76
Cho mặt cầu (S) có bán kính R không đổi, hình nón (H) bất kì nội tiếp mặt cầu (S) (tham khảo hình vẽ bên). Thể tích khối nón (H) là V 1 ; thể tích phần còn lại là V 2 . Giá trị lớn nhất của V 1 V 2 bằng
A. 76 32
B. 81 32
C. 32 76
D. 32 81
Chọn C
Lời giải.
Ta có
Suy ra V 1 V 2 lớn nhất khi V V 1 nhỏ nhất => V 1 đạt giá trị lớn nhất.
Gọi h,r lần lượt là chiều cao và bán kính đáy của hình nón nội tiếp mặt cầu.
Gọi I, O lần lượt là tâm của đường tròn đáy hình nón và tâm của mặt cầu.
Gọi A là đỉnh của hình nón. Xét thiết diện qua trục của hình nón như hình vẽ bên.
Xét hàm
Cách 2.
TH1. Chiều cao của khối nón h= R + x và bán kính đáy r 2 = R 2 - x 2
Theo BĐT Cô si cho 3 số dương, ta có
Dấu "=" xảy ra
TH2. Chiều cao của khối nón h = R - x. Làm tương tự.
Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r. Hình nón có đường tròn đáy (C) và đỉnh I thuộc (S) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu (S). Gọi h là chiều cao của hình nón đó. Thể tích của khối nón theo r và h.
Gọi H là tâm mặt đáy của hình nón, O là tâm mặt cầu (S), đường thẳng IH cắt mặt cầu (S) tại điểm K.
Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r. Hình nón có đường tròn đáy (C) và đỉnh I đều thuộc (S) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu (C). Gọi h là chiều cao của hình nón. Tìm h để thể tích của khối nón là lớn nhất.
A. 4 r 3
B. r 3
C. r 6
D. 7 r 6
Đáp án A.
Kí hiệu như hình vẽ.
Ta thấy I K = r ' là bán kính đáy của hình chóp, A I = h là chiều cao của hình chóp.
Tam giác vuông tại K có IK là đường cao
⇒ I K 2 = A I . I M ⇒ r ' 2 = h . 2 r − h
Ta có V c o h p = 1 3 . π r ' 2 . h = 1 3 . π . h . h . 2 r − h = 4 3 π . h 2 . h 2 2 r − h .
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
h 2 . h 2 . 2 r − h ≤ h 2 + h 2 + 2 r − h 3 27 = 8 r 3 27
⇔ V c h o p ≤ 4 3 π . 8 r 3 27 = 32 81 . π r 3
Dấu bằng xảy ra khi h 2 = 2 r − h ⇔ h = 4 r 3 . Vậy ta chọn A
Cho khối cầu (S) tâm I, bán kính R không đổi. Một khối nón có chiều cao h và bán kính r thay đổi, nội tiếp khối cầu. Tính chiều cao h theo R sao cho thể tích khối nón lớn nhất
A. h = R 2
B. h = R 3
C. h = 4 R 3
D. h = 3 R 2
Cho mặt cầu (S) bán kính R. Hình nón (N) thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu (S) Tính thể tích lớn nhất của khối nón (N) đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu (S) Tính thể tích lớn nhất của khối nón (N)
A. 32 πR 3 81
B. 32 R 3 81
C. 32 πR 3 27
D. 32 R 3 27
Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r. Hình nón có đường tròn đáy (C) và đỉnh I thuộc (S) được gọi là hình nón nội tiếp mặt cầu (S). Gọi h là chiều cao của hình nón đó. Xác định h để thể tích của hình nón là lớn nhất.
Cho mặt cầu (S) bán kính R. Hình nón (N) thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu (S). Thể tích lớn nhất của khối nón (N) là: