Ta có {BC⊥ABAB⊥SC⇒AB⊥CE{BC⊥ABAB⊥SC⇒AB⊥CE

Khi đó {CE⊥ABCE⊥SA⇒CE⊥(SAB){CE⊥ABCE⊥SA⇒CE⊥(SAB)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: SC2=SE.SB⇒SESB=SC2SB2SC2=SE.SB⇒SESB=SC2SB2, tương tự SDSE=SC2SA2SDSE=SC2SA2

Lại cả CA=AC√2=2a;VS.ABC=13SC.SABC=23a3CA=AC2=2a;VS.ABC=13SC.SABC=23a3

Khi đó VS.CDEVS.ABC=SESBSDSA=SC2SB2.SC2SA2=4648=13VS.CDEVS.ABC=SESBSDSA=SC2SB2.SC2SA2=4648=13

Do đó VS.CDE=13.23a3=2a39VS.CDE=13.23a3=2a39.

Dựng hình bình hành $ABCD$, mà $\Delta ABC$ vuông cân nên $ABCD$ là hình vuông.

Ta có $AB\perp AD$ và $AB\perp SA\Rightarrow AB\perp (SAD)$

$\Rightarrow AB\perp SD$.

Lại có $BC\perp CD$ và $SC\perp BC\Rightarrow BC\perp (SDC)$

$\Rightarrow BC\perp SD.$

Vậy $SD\perp (ABCD)$.

Gọi $H$ là trung điểm của $AD\Rightarrow MH\perp (ABCD)$.

$\Rightarrow HN$ là hình chiếu vuông góc của $MN$ lên $(ABCD)$.

$\Rightarrow$ Góc giữa $MN$ với $(ABC)$ là \alpha = \widehat{MNH}α=MNH.

Xét tam giác vuông $MNH$ có \cos \alpha = \dfrac{HN}{MN} = \dfrac{HN}{\sqrt{HN^2 + MH^2}} = \dfrac{\sqrt6}{3}cosα=MNHN​=HN2+MH2​HN​=36​​.

Gọi D là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)

\(SD\perp\left(ABC\right)\Rightarrow SD\perp AB\) , mà \(AB\perp SA\left(gt\right)\Rightarrow AB\perp\left(SAD\right)\Rightarrow AB\perp AD\)

\(\Rightarrow AD||BC\)

Tương tự ta có: \(BC\perp\left(SCD\right)\Rightarrow BC\perp CD\Rightarrow CD||AB\)

\(\Rightarrow\) Tứ giác ABCD là hình vuông

\(\Rightarrow BD=a\sqrt{2}\)

\(SD=\sqrt{SB^2-BD^2}=a\sqrt{2}\)

Gọi P là trung điểm AD \(\Rightarrow MP\) là đường trung bình tam giác SAD

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MP=\dfrac{1}{2}SD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\\MP||SD\Rightarrow MP\perp\left(ABC\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\alpha=\widehat{MNP}\)

\(cos\alpha=\dfrac{NP}{MN}=\dfrac{NP}{\sqrt{NP^2+MP^2}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+\dfrac{a^2}{2}}}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)

Đáp án là  C.

Ta dễ chứng minh được tam giácACD  vuông tại C, từ đó chứng minh được CN vuông góc với mặt phẳng (SAC) hay C là hình chiếu vuông góc của N trên (SAC). Đường thẳng MN cắt mặt phẳng (SAC)   tại J xác định như hình vẽ. Suy ra góc giữa MN và (SAC) là góc NJC  .

IN là đương trung bình trong tam giác ACD suy ra IN=a, IH là đường trung bình trong tam giác ABC suy ra I H = 1 2 B C = a 2 . Dựa vào định lí Talet trong tam giác MHN ta được I J = 2 3 M H = 2 3 . 1 2 S A = 1 3 S A = a 3 . Dựa vào tam giác JIC  vuông tại I  tính được J C = 22 6 .

Ta dễ tính được C N = a 2 2 , J N = a 10 3  .

Tam giác NJC vuông tại C nên cos N J C ^ = J C J N = 55 10 .

Đáp án A.

Phương pháp:

- Phương pháp tọa độ hóa.

- Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian:

d Δ 1 ; Δ 2 = M 1 M 2 → . u 1 → ; u 2 → u 1 → ; u 2 → ,     M 1 ∈ Δ 1 ; M 2 ∈ Δ 2  

Cách giải:

Gắn hệ trục tọa độ (như hình vẽ): 

A 0 ; 0 ; 0 ,   B 0 ; a ; 0 ,   C a 3 2 ; a 2 ; 0 ,   S 0 ; 0 ; 3 a  

M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC

⇒ M 0 ; a 2 ; 0 ,   N a 3 4 ; a 4 ; 3 a 2  

⇒ A N → = a 3 4 ; a 4 ; 3 a 2 ;     C M → = − a 3 2 ; 0 ; 0  

Đường thẳng AN có 1 VTCP u 1 → = 3 ; 1 ; 6 ,  

đi qua điểm A 0 ; 0 ; 0 .  

Đường thẳng CM có 1 VTCP u 1 → = 1 ; 0 ; 0 ,  đi qua điểm  A 0 ; a 2 ; 0 .

A M → = 0 ; a 2 ; 0 ,   u 1 → ; u 2 → = 0 ; 6 ; − 1  

d A N ; C M = A M → . u 1 → ; u 2 → u 1 → ; u 2 → = 0.0 + a 2 .6 + 0. − 1 0 2 + 6 2 + 1 2 = 3 a 37

Chọn C

Ta gọi E, F lần lượt là trung điểm của SC, AB

Ta có ME//NF(do cùng song song với BC. Nên tứ giác MENF là hình thang, và 

hay tứ giác MENF là hình thang vuông tại M, F

Ta có:  hay E là hình chiếu vuông góc của N lên (SAC)

Từ đó ta có được, góc giữa MN và (SAC) là góc giữa MN và CI

Suy ra, gọi  α là góc giữa MN và (SAC) thì