Question

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều, cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy và SA = 3a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và AN bằng

A.  3 a 37 .

B.  a 2 .

C.  3 a 37 74 .

D.  a 4 .

Answer 1

Đáp án A.

Phương pháp:

- Phương pháp tọa độ hóa.

- Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian:

d Δ 1 ; Δ 2 = M 1 M 2 → . u 1 → ; u 2 → u 1 → ; u 2 → ,     M 1 ∈ Δ 1 ; M 2 ∈ Δ 2  

Cách giải:

Gắn hệ trục tọa độ (như hình vẽ): 

A 0 ; 0 ; 0 ,   B 0 ; a ; 0 ,   C a 3 2 ; a 2 ; 0 ,   S 0 ; 0 ; 3 a  

M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC

⇒ M 0 ; a 2 ; 0 ,   N a 3 4 ; a 4 ; 3 a 2  

⇒ A N → = a 3 4 ; a 4 ; 3 a 2 ;     C M → = − a 3 2 ; 0 ; 0  

Đường thẳng AN có 1 VTCP u 1 → = 3 ; 1 ; 6 ,  

đi qua điểm A 0 ; 0 ; 0 .  

Đường thẳng CM có 1 VTCP u 1 → = 1 ; 0 ; 0 ,  đi qua điểm  A 0 ; a 2 ; 0 .

A M → = 0 ; a 2 ; 0 ,   u 1 → ; u 2 → = 0 ; 6 ; − 1  

d A N ; C M = A M → . u 1 → ; u 2 → u 1 → ; u 2 → = 0.0 + a 2 .6 + 0. − 1 0 2 + 6 2 + 1 2 = 3 a 37