Đáp án C

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có AC vuông góc với mặt phẳng (SBD) tại O. Kẻ OH vuông góc với SB, thì OH là khoảng cách cần tìm. Tam giác SOB vuông cân tại O, nên   O H = S B 2 = a 2 .

a) Kẻ \(OH \bot SB\left( {H \in SB} \right)\)

\(S.ABC{\rm{D}}\) là chóp tứ giác đều \( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AC\)

\(ABC{\rm{D}}\) là hình vuông \( \Rightarrow AC \bot B{\rm{D}}\)

\( \Rightarrow AC \bot \left( {SB{\rm{D}}} \right) \Rightarrow AC \bot OH\)

Mà \(OH \bot SB\)

\( \Rightarrow d\left( {AC,SB} \right) = OH\)

\(B{\rm{D}} = \sqrt {A{B^2} + A{{\rm{D}}^2}}  = a\sqrt 2  \Rightarrow BO = \frac{1}{2}B{\rm{D}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(\Delta SBO\) vuông tại \(O \Rightarrow SO = \sqrt {S{B^2} - B{O^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)

\(\Delta SBO\) vuông cân tại \(O\) có đường cao \(OH\)

\( \Rightarrow d\left( {AC,SB} \right) = OH = \frac{1}{2}SB = \frac{a}{2}\)

b) \({S_{ABC{\rm{D}}}} = A{B^2} = {a^2}\)

\({V_{S.ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}{S_{ABC{\rm{D}}}}.SO = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\)

Đáp án C

Vì A B / / C D nên  d A B ; S C = d A B ; S C D

= d A ; S C D = 2 d O ; S C D = 2 O H , trong đó I là trung điểm của CD và H là hình chiếu vuông góc của O xuống SI.

Ta có: O I = a 2 ; S I = a 2 − a 2 2 = a 3 2 ; S O = a 3 2 2 − a 2 2 = a 2 2  

  1 O H 2 = 1 O   S 2 + 1 O I 2 = 1 a 2 2 2 + 1 a 2 2 = 6 a 2 ⇒ O H = a 6

⇒ d A B ; S C = 2. a 6 = a 6 3

Đáp án D

Mặt khác S.OAB là tứ diện vuông đỉnh O nên

Đáp án đúng : D

Do S.ABCD là chóp tứ giác đều \(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp AC\)

Mà \(AC\perp BD\) (hai đường chéo hình vuông) 

\(\Rightarrow AC\perp\left(SBD\right)\Rightarrow\left(SAC\right)\perp\left(SBD\right)\)

b. Qua B kẻ đường thẳng song song AC cắt DC kéo dài tại E

\(\Rightarrow AC||\left(SBE\right)\Rightarrow d\left(AC;SB\right)=d\left(AC;\left(SBE\right)\right)=d\left(H;\left(SBE\right)\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}AC\perp\left(SBD\right)\\AC||BE\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BE\perp\left(SBD\right)\)

Trong tam giác vuông SBH, từ H kẻ \(HK\perp SB\Rightarrow HK\perp\left(SBE\right)\)

\(\Rightarrow HK=d\left(H;SBE\right)\)

\(BD=a\sqrt{2}\Rightarrow BH=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(SH=\sqrt{SB^2-BH^2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

ÁP dụng hệ thức lượng:

\(HK.SB=SH.BH\Rightarrow HK=\dfrac{SH.BH}{SB}=\dfrac{a\sqrt{30}}{10}\)