Question

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD , cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng \(\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\). H là giao điểm AC và BD.

a) chứng minh: \(\left(SAC\right)\perp\left(SBD\right)\)

b) tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SB 

 

Answer 1

Do S.ABCD là chóp tứ giác đều \(\Rightarrow SH\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SH\perp AC\)

Mà \(AC\perp BD\) (hai đường chéo hình vuông) 

\(\Rightarrow AC\perp\left(SBD\right)\Rightarrow\left(SAC\right)\perp\left(SBD\right)\)

b. Qua B kẻ đường thẳng song song AC cắt DC kéo dài tại E

\(\Rightarrow AC||\left(SBE\right)\Rightarrow d\left(AC;SB\right)=d\left(AC;\left(SBE\right)\right)=d\left(H;\left(SBE\right)\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}AC\perp\left(SBD\right)\\AC||BE\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BE\perp\left(SBD\right)\)

Trong tam giác vuông SBH, từ H kẻ \(HK\perp SB\Rightarrow HK\perp\left(SBE\right)\)

\(\Rightarrow HK=d\left(H;SBE\right)\)

\(BD=a\sqrt{2}\Rightarrow BH=\dfrac{BD}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\)

\(SH=\sqrt{SB^2-BH^2}=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

ÁP dụng hệ thức lượng:

\(HK.SB=SH.BH\Rightarrow HK=\dfrac{SH.BH}{SB}=\dfrac{a\sqrt{30}}{10}\)