Cho tứ diện SABC và G là trọng tâm của tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG và cắt các cạnh SB, SC tương ứng tại M, N. Giá trị nhỏ nhất của tỉ số V S . A M N V S . A B C là
A. 1 2
B. 1 3
C. 3 8
D. 4 9
Cho tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA= SB= 3 cm, BC =5cm và diện tích tam giác SAC bằng 6 c m 2 . Một mặt phẳng α thay đổi qua trọng tâm G của tứ diện cắt các cạnh AS, AB, AC lần lượt tại M, N, P. Tính giá trị nhỏ nhất T m của biểu thức T = 1 A M 2 + 1 A N 2 + 1 A P 2
A. T m = 8 17
B. T m = 41 144
C. T m = 1 10
D. T m = 1 34
Chọn A
Vì tam giác SAC vuông tại A
nên tam giác ABC vuông tại A. Chọn hệ trục Oxyz như hình vẽ
Ta có
A(0;0;0), B(3;0;0), C(0;4;0), S(0;0;3)
Vì G là trọng tâm của tứ diện SABC nên ta có
Gọi H là hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng α . Theo tính chất của tam diện vuông ta có
Dấu “=” xảy ra khi H ≡ G tức mặt phẳng α đi qua điểm G và vuông góc với đường thẳng OG.
Vậy giá trị nhỏ nhất của T bằng 8 17
Cho khối chóp S.ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Mặt phẳng ( α ) qua AG và song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại I, J. Tính tỉ số thể tích của hai khối tứ diện SAIJ và SABC
A. 2 9
B. 2 3
C. 4 9
D. 8 27
Cho khối chóp S.ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Mặt phẳng (α) qua AG và song song với BC cắt SB,SC lần lượt tại I,J. Tính tỉ số thể tích của hai khối tứ diện SAIJ và SABC.
A. 1 9 .
B. 4 9 .
C. 1 3 .
D. 2 3 .
Đáp án B
V S A I J V S A B C = S I S B . S J S C = 2 3 . 2 3 = 4 9 .
Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = 1. Gọi G là trọng tâm của tứ diện. Xét mặt phẳng (α) thay đổi đi qua điểm G và cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 S D . S E + 1 S E . S F + 1 S F . S D bằng
A. 16 3
B. 27 4
C. 16 9
D. 9 4
Cho hình chóp S.ABC có S A = S B = S C = 1 . Gọi G là trọng tâm của tứ diện. Xét mặt phẳng α thay đổi đi qua điểm G và cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1 S D . S E + 1 S E . S F + 1 S F . S D bằng
Cho tứ diện SABC có trọng tâm G. Một mặt phẳng qua G cắt các tia SA, SB và SC theo thứ tự tại A’, B’ và C’. Đặt S A ' S A = m ; S B ' S B = n ; S C ' S C = p .Đẳng thức nào dưới đây là đúng
A. 1 m 2 + 1 n 2 + 1 p 2 = 4
B. 1 m n + 1 n p + 1 p m = 4
C. 1 m + 1 n + 1 p = 4
D. m + n + p = 4
Gọi G 1 là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó
So sánh hai đẳng thức trên ta suy ra
Nhưng do S A → ; S B → ; S C → là ba vecto không đồng phẳng nên đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi
Từ đây và do x + y + z = 1 ta thu được 1 m + 1 n + 1 p = 4
Chọn C.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm SC. Mặt phẳng AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi V 1 , V theo thứ tự là thể tích khối tứ diện S.AMKN và hình chóp S.ABCD. Giá trị nhỏ nhất của tỷ số V 1 V bằng:
A. 1 2
B. 2 3
C. 1 3
D. 3 8
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi K là trung điểm SC. Mặt phẳng AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N. Gọi V 1 , V theo thứ tự là thể tích khối tứ diện S.AMKN và hình chóp S.ABCD. Giá trị nhỏ nhất của tỷ số V 1 V bằng:
A. 1 2
B. 2 3
C. 1 3
D. 3 8
Cho tứ diện đều S.ABC có cạnh bằng 1. Mặt phẳng (P) đi qua điểm S và trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N. Tính thể tích nhỏ nhất V m i n của khối tứ diện SAMN.
A. V min = 2 27
B. V min = 4 9
C. V min = 2 18
D. V min = 2 36
Chọn A.
Phương pháp:
Cho tam giác đều ABC, G là trọng tâm tam giác ABC. Đường thẳng qua G cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Khi đó,
Thật vậy, gọi I là trung điểm của BC, qua B, C kẻ các đường thẳng song song MN, cắt đường thẳng AI tại E, F.
Cách giải:
Do SABC là tứ diện đều, G là trọng tâm tam giác ABC