Đáp án A

Giả sử  S A → = x S A ' → ;    S B → = y S B ' → ;    S C → = z S C ' →   .

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ G A → + G B → + G C → = 0 .

⇒ 3 G S → + S A → + S B → + S C → = 0

⇒ S G → = S A → 3 + S B → 3 + S C → 3 ⇒ S G → = x 3 . S A ' → + y 3 . S B ' → + z 3 . S C ' →    1

Do   A ' B ' C ' đi qua G nên ba vectơ   G A ' → ; G B ' → ; G C ' → đồng phẳng

Suy ra tồn tại 3 số   i ; m ; n , i 2 + m 2 + n 2 ≠ 0 sao cho  i . G A ' → + m . G B ' → + n . G C ' → = 0

i + m + n . G S → + i . S A ' → + m . S B ' → + n . S C ' → = 0

⇒ S G → = i i + m + n S A ' → + m i + m + n S B ' → + n i + m + n . S C ' →    2

Do S G ; S A ' ; S B ' ; S C '  không đồng phẳng nên từ (1) và (2) ta có

x 3 = i i + m + n ;    y 3 = m i + m + n ;     z 3 = n i + m + n

x + y + z 3 = i + m + n i + m + n = 1 ⇒ x + y + z = 3

Ta có  1 S A ' 2 + 1 S B ' 2 + 1 S C ' 2 = x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky cho hai bộ số thực   x a ; y b ; z c và   a ; b ; c ta có .

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 a 2 + b 2 + c 2 ≥ x + y + z 2

⇔ 1 S A ' 2 + 1 S B ' 2 + 1 S C ' 2 ≥ x + y + z 2 a 2 + b 2 + c 2 = 3 a 2 + b 2 + c 2

Dấu “=” xảy ra khi  x 2 a 2 = y 2 b 2 = z 2 c 2

Bài này ứng dụng bài toán đồng phẳng đã chứng minh cho em hồi sáng:

4 điểm M, A', B', C', D' đồng phẳng nên với điểm S bất kì ta có:

\(\overrightarrow{SM}=m.\overrightarrow{SA'}+n.\overrightarrow{SB'}+p.\overrightarrow{SC'}\)

Khi đó \(m+n+p=1\)

Giải như sau:

Đặt \(\dfrac{SA}{SA'}=x;\dfrac{SB}{SB'}=y;\dfrac{SC}{SC'}=z\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{SA}=x.\overrightarrow{SA'};\overrightarrow{SB}=y.\overrightarrow{SB'};\overrightarrow{SC}=z.\overrightarrow{SC'}\)

Do G là trọng tâm ABC \(\Rightarrow\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}=3\overrightarrow{SG}\)

\(\Rightarrow x.\overrightarrow{SA'}+y.\overrightarrow{SB'}+z.\overrightarrow{SC'}=3\overrightarrow{SG}=6\overrightarrow{SM}\) (do M là trung điểm SG)

\(\Rightarrow\dfrac{x}{6}.\overrightarrow{SA'}+\dfrac{y}{6}.\overrightarrow{SB'}+\dfrac{z}{6}.\overrightarrow{SC'}=\overrightarrow{SM}\)

Do M;A'B'C' đồng phẳng 

\(\Rightarrow\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{6}+\dfrac{z}{6}=1\) \(\Rightarrow x+y+z=6\)

\(\Rightarrow\dfrac{SA}{SA'}+\dfrac{SB}{SB'}+\dfrac{SC}{SC'}=6\)

Với bài toán trắc nghiệm (hoặc cần kiểm chứng kết quả) chỉ cần chọn trường hợp đặc biệt là (P) song song đáy, khi đó theo Talet thì A', B', C' lần lượt là trung điểm các cạnh nên ta dễ dàng tính ra tổng cần tính là 2+2+2=6

Đáp án là D

Đáp án D