* Phân tích

Giả sử tiếp tuyến của đường tròn dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán

- d 1 là tiếp tuyến của đường tròn tại A nên  d 1  ⊥ OA

- Vì  d 1  // d nên d ⊥ OA

Vậy A là giao điểm của đường thẳng kẻ từ O vuông góc với d

* Cách dựng

- Dựng OH vuông góc với d cắt đường tròn (O) tại A và B

- Dựng đường thẳng  d 1  đi qua A và vuông góc với OA

- Dựng đường thẳng  d 2  đi qua B và vuông góc với OB

Khi đó  d 1  và  d 2  là hai tiếp tuyến cần dựng.

* Chứng minh

Ta có: A và B thuộc (O)

d 1  // d mà d ⊥ OH nên  d 1  ⊥ OH hay  d 1  ⊥ OA tại A

Suy ra  d 1  là tiếp tuyến của đường tròn (O)

d 2  // d mà d ⊥ OH nên  d 2  ⊥ OH hay  d 2  ⊥ OB tại B

Suy ra  d 2  là tiếp tuyến của đường tròn (O)

* Biện luận

Đường thẳng OH luôn cắt đường tròn (O) nên giao điểm A và B luôn dựng được.

a: Xét (O) có

DB,DC là tiếp tuyến

=>DB=DC

DB=DC

OB=OC

Do đó: OD là đường trung trực của BC

=>OD vuông góc BC

b: Xét (O) có

DB,DC là tiếp tuyến

Do đó: DO là phân giác của góc CDB

BC//GE

DO vuông góc BC

Do đó: DO vuông góc GE

Xét ΔDGE có

DO vừa là đường cao, vừa là đường phân giác

Do đó: ΔDGE cân tại D

=>DG=DE

ΔDGE cân tại D

mà DO là đường cao

nên O là trung điểm của GE

=>OG=OE

c: OG//BC

=>góc AOG=góc ABC(đồng vị) và góc COG=góc OCB(hai góc so le trong)

mà góc ABC=góc OCB

nên góc AOG=góc COG

=>OG là phân giác của góc COA

Xét ΔOCG và ΔOAG có

OC=OA

góc COG=góc AOG

OG chung

Do đó: ΔOCG=ΔOAG

=>góc OAG=góc OCG=90 độ

=>AG là tiếp tuyến của (O)

1: Xét ΔBDA có

O là trung điẻm của AB

OI//BD

=>I là trung điểm của AD

ΔOAD cân tại O

mà OI là trung tuyến

nên OI vuông góc AD và OI là phân giác của góc AOD

2: Xét ΔOAC và ΔODC có

OA=OD

góc AOC=góc DOC
OC chung

Do đó: ΔOAC=ΔODC

=>góc ODC=90 độ

=>CD là tiếp tuyến của (O)

1). Gọi AD cắt (O) tại P khác A

Ta có P C M ^ = P A C ^  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)  = P E M ^ (góc đồng vị do E M ∥ A C );

Suy ra tứ giác ECMP nội tiếp. Từ đó suy ra   M P C ^ = M E C ^ = E C A ^ = C A P ^ ⇒ PM  tiếp xúc (O)

Tương tự PN tiếp xúc (O), suy ra MN tiếp xúc (O) tại P.

a: Sửa đề: cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở C

ΔOAB cân tại O

mà OC là đường cao

nên OC là phân giác của góc AOB

Xét ΔOAC và ΔOBC có

OA=OB

\(\widehat{AOC}=\widehat{BOC}\)

OC chung

Do đó: ΔOAC=ΔOBC

=>\(\widehat{OAC}=\widehat{OBC}=90^0\)

=>CB là tiếp tuyến của (O)

b:ΔOAC=ΔOBC

=>CB=CA

=>C nằm trên đường trung trực của AB(1)

OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

từ (1) và (2) suy ra OC là đường trung trực của BA

=>OC\(\perp\)AB

mà OC//AD

nên AB\(\perp\)AD

=>ΔABD vuông tại A

Ta có: ΔABD vuông tại A

=>ΔABD nội tiếp đường tròn đường kính DB

mà ΔABD nội tiếp (O)

nên O là trung điểm của DB

=>D,O,B thẳng hàng

Xét ΔAKD vuông tại K và ΔCAO vuông tại A có

\(\widehat{ADK}=\widehat{COA}\)(hai góc so le trong, AD//CO)

Do đó: ΔAKD\(\sim\)ΔCAO

đây là đề học sinh giỏi của tỉnh hải dương năm 2020-2021 ạ

2) Theo 1). dễ thấy Δ B F A ∽ Δ B N P ⇒ Δ B N F ∽ Δ B P A ⇒ B N B P = F N A P (1).

Tương tự Δ C M E ∽ Δ C P A ⇒ C M C P = E M A P  (2).

Từ (1) và (2), ta có B N C M ⋅ C P B P = F N E M và theo giả thiết F N E M = B N C M , suy ra   C P = B P ⇒ A D là phân giác góc B A C ^ .