tìm a,b,c biết:abc+bca+cab là số chính phương
Gợi ý nhé:abc là 100a+10b+c
bca là 100b+10c+a
cab là 100c+10a+b
\(k=\frac{ab}{abc}=\frac{bc}{bca}=\frac{ca}{cab}\) bạn có thể phân tich ra là \(k=\frac{10a+1b}{100a+10b+1c}=\frac{10b+1c}{100b+10c+1a}=\frac{10c+1a}{100c+10a+1b}\)rồi làm bước tiếp theo
bài này làm như sau:
\(\frac{ab}{abc}=\frac{bc}{bca}=\frac{ca}{cab}=\frac{ab+bc+ca}{abc+bca+cab}=\frac{10a+b+10b+a+10c+a}{100a+10b+c+100b+10c+a+100c+10a+b}\)
\(=\frac{11a+11b+11c}{111a+111b+111c}=\frac{11\left(a+b+c\right)}{111\left(a+b+c\right)}=\frac{11}{111}\)
vậy k=11/111
****
Số tự nhiên abc được biểu diễn là
A.100b+10c+a B.100c+10b+a
C.100a+10b+c D.100a+10+b
Cho S = abc + bca + cab
CMR : S không phải số chính phương.
Chú ý : abc = 100a + 10b + c
S = abc + bca + cab = 100a + 10b + c + 100b + 10c + a + 100c + 10a + b
= (100a + a + 10a) + (10b + 100b + b) + (c + 10c + 100c)
= 111a + 111b + 111c
= 111(a + b + c)
=> S ko phải là số chính phương
cho S = abc + bca + cab
chứng minh S không phải số chính phuong ( lưu ý : abc ; bca ; cab là các số )
ta có
s = abc + bca + cab
=> s =( 100a + 10b + c)+ ( 100b + 10c + a)+( 100c + 10a+b )
=>S = 100a + 10b + c + 100b + 10c + a + 100c + 10a + b
=> S = 111a + 111b + 111c
=> S = 111( a+b+c )= 37 . 3( a+b + c)
giả sử S là số chính phương thì S phải chứa thừa số nguyên tố 37 với số mũ chẵn nên
3(a+b+c) chia hết 37
=> a+b+c chia hết cho 37
Điều này không xảy ra vì 1 \(\le a+b+c\le27\)
vậy S = abc + bca + cab không phải là số chính phương
S = abc (ngang) + bca (ngang) + cab (ngang)
= 100a + 10b + c + 100b + 10c + a + 100c + 10a + b
= 111a + 111b + 111c
= 111.(a + b + c)
=> Không phải là số chính phương vì a,b,c là các chữ số tự nhiên nên a + b + c \(\ne\) 111
S = abc + bca + cab
=> S = ( 100a + 10b + c ) + ( 100b + 10c + a)+ ( 100c + 10a + b)
=> S = 100a + 10b + c + 100b + 10c + a + 100c + 10a +b
=> S = 111a + 111b + 111c
=> S = 111( a+b+c)
vì 0< a+b+c \(\le\) 27 nên a + b + c không chia hết cho 37
mặt khác ( 3 ; 37)=1 nên 3( a+b+c) không chia hết cho 37
=> S không phải là số chính phương
Chứng minh rằng tổng sau không là số chính phương
A = abc + bca + cab
abc và bca và cab là số tự nhiên
A = abc + bca + cab
=> A =( 100a + 10b + c)+ ( 100b + 10c + a)+( 100c + 10a+b )
=>A = 100a + 10b + c + 100b + 10c + a + 100c + 10a + b
=> A = 111a + 111b + 111c
=> A= 111( a+b+c )= 37 . 3( a+b + c)
giả sử A là số chính phương thì A phải chứa thừa số nguyên tố 37 với số mũ chẵn nên
3(a+b+c) chia hết 37
=> a+b+c chia hết cho 37
Điều này không xảy ra vì 1 \(\le\) a + b + c \(\le\) 27
A = abc + bca + cab không phải là số chính phương
CMR tổng sau không là số chính phương : A = abc + bca + cab tìm số nguyên tố ab ( a > b > 0 ) sao cho ab - ba là số chính phương
1)
A= abc + bca + cab = 111a + 111b + 111c = 3 . 37 . ( a +b + c )
số chính phương phải chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, do đó a + b + c phải bằng 37k2 ( k \(\in\)N ) . điều này vô lý vì 3 \(\le\)a + b + c \(\le\)37
Vậy A không là số chính phương
2) ab - ba = ( 10a + b ) - ( 10b + a ) = 9a - 9b = 9 . ( a - b ) = 32 . ( a - b )
do ab - ba là số chính phương nên a - b là số chính phương
ta thấy 1 \(\le\)a - b \(\le\)8 nên a - b là số chính phương.ta thấy 1 \(\le\)a - b \(\le\)b nên a - b \(\in\){ 1 ; 4 }
với a - b = 1 thì ab \(\in\){ 21 ; 32 ; 43 ; 54 ; 65 ; 76 ; 87 ; 98 }
loại các hợp số 51 \(⋮\)3, 62 \(⋮\)2 ; 84 \(⋮\)2 ; 95 \(⋮\)5 còn 73 là số nguuyên tố,
Vậy ab bằng 43 hoặc 73. khi đó : 43 - 34 = 9 = 32
73 - 37 = 36 = 62
1/ Cho \(S=\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}\)
Chứng minh rằng: S không phải là số chính phương
2/ Tìm các số có ba chữ số sao cho hiệu của số ấy và số gồm 3 chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại là 1 số chính phương.
3/ Tìm 3 số tự nhiên a, b, c (a > b > c > 0), biết rằng: \(\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}=666\)
1) Ta có : \(S=\overline{abc}+\overline{bca}+\overline{cab}=111a+111b+111c=111\left(a+b+c\right)=3.37.\left(a+b+c\right)\)
Giải sử S là số chính phương
=> 3(a + b + c ) \(⋮\) 37
Vì 0 < (a + b + c ) \(\le27\)
=> Điều trên là vô lý
Vậy S không là số chính phương
2/ Gọi số đó là abc
Có: \(\overline{abc}-\overline{cba}=\left(100a+10b+c\right)-\left(100c+10b+a\right)\)
\(=100a+10b+c-100c-10b-a=99a-99c=99\left(a-c\right)\)
Sau đó phân tích 99 ra thành các tích của các số và tìm \(a-c\) sao cho \(99\left(a-c\right)\)là một số chính phương (\(a;c\in N\)và \(a-c\le9\)
\(\dfrac{abc}{bc}\) = \(\dfrac{bca}{ca} = \dfrac{cab}{ab}\) (abc, bca, cab là số có 3 chữ số, không phải tích axbxc, bxcxa, cxaxb)
Tính tổng P = \(\dfrac{a}{bc} + \dfrac{b}{ca}+ \dfrac{c}{ab}\) (ab, bc, ca là số có 2 c/s, không phải tích axb, bxc, cxa)
giúp mk với mk đang gấp
Ta có:
\(\dfrac{\overline{abc}}{\overline{bc}}=\dfrac{\overline{bca}}{\overline{ca}}=\dfrac{\overline{cab}}{\overline{ab}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{100a+\overline{bc}}{\overline{bc}}=\dfrac{100b+\overline{ca}}{\overline{ca}}=\dfrac{100c+\overline{ab}}{\overline{ab}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{100a}{\overline{bc}}+1=\dfrac{100b}{\overline{ca}}+1=\dfrac{100a}{\overline{ab}}+1\)
\(\Rightarrow\dfrac{100a}{\overline{bc}}=\dfrac{100b}{\overline{ca}}=\dfrac{100c}{\overline{ab}}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{\overline{bc}}=\dfrac{b}{\overline{ca}}=\dfrac{c}{\overline{ab}}\)
Đặt: \(\dfrac{a}{\overline{bc}}=\dfrac{b}{\overline{ca}}=\dfrac{c}{\overline{ab}}=k\)
\(\Rightarrow a=k\overline{bc};b=k\overline{ca};c=k\overline{ab}\)
Ta có: \(\dfrac{a+b+c}{\overline{bc}+\overline{ca}+\overline{ab}}=\dfrac{k\overline{bc}+k\overline{ca}+k\overline{ab}}{\overline{bc}+\overline{ca}+\overline{ab}}=\dfrac{k\left(\overline{bc}+\overline{ca}+\overline{ab}\right)}{\overline{bc}+\overline{ca}+\overline{ab}}=k\)
Nên: \(\dfrac{a}{\overline{bc}}=\dfrac{b}{\overline{ca}}=\dfrac{c}{\overline{ab}}=\dfrac{a+b+c}{\overline{bc}+\overline{ca}+\overline{ab}}=\dfrac{a+b+c}{10b+c+10c+a+10a+b}=\dfrac{a+b+c}{11\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{11}\)
\(\Rightarrow k=\dfrac{1}{11}\)
Giá trị của biểu thức P là:
\(P=\dfrac{a}{\overline{bc}}+\dfrac{b}{\overline{ca}}+\dfrac{c}{\overline{ab}}=k+k+k=\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11}+\dfrac{1}{11}=\dfrac{3}{11}\)
tính k biết k=\(\frac{abc}{ab+c}+\frac{bca}{bc+a}+\frac{cab}{ca+b}\) (abc; bca; cab; ab; bc; ca là các số )