Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:

 Dùng bút chì và thước kẻ, nối các điểm để tạo thành hình đúng với yêu cầu của bài toán.

Lời giải chi tiết:

Gọi \({u_n}\) là độ dài cạnh của tam giác đều thứ \(n\).

Ta có: \({u_1} = a;{u_2} = \frac{{{u_1}}}{2};{u_3} = \frac{{{u_2}}}{2};...\)

Từ đó ta thấy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = a\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Vậy \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = a.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = \frac{a}{{{2^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)

Chu vi của tam giác đều thứ \(n\) là: \({p_n} = 3{u_n} = \frac{{3{\rm{a}}}}{{{2^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)

Tổng chu vi của các tam giác của dãy là:

\({P_n} = 3{\rm{a}} + \frac{{3{\rm{a}}}}{2} + \frac{{3{\rm{a}}}}{{{2^2}}} + ... + \frac{{3{\rm{a}}}}{{{2^{n - 1}}}} + ... = 3{\rm{a}}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ...} \right)\)

Tổng \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Vậy \(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2 \Rightarrow {P_n} = 3{\rm{a}}.2 = 6{\rm{a}}\).

Diện tích của hình vuông thứ \(n\) là:

\({s_n} = \frac{{u_n^2\sqrt 3 }}{4} = {\left( {\frac{a}{{{2^{n - 1}}}}} \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.{\left( {\frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right)^2} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{{{4^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)

Tổng diện tích của các tam giác của dãy là:

\({S_n} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{4} + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{1}{{{4^{n - 1}}}} + ... = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\left( {1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{n - 1}}}} + ...} \right)\)

Tổng \(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{n - 1}}}} + ...\) là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{4}\).

Vậy \(1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{{{4^2}}} + ... + \frac{1}{{{4^{n - 1}}}} + ... = \frac{1}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{4}{3} \Rightarrow {S_n} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{4}{3} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}\)

Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:

Nối các điểm đã cho thành các hình chữ nhật.

Đếm đủ hình vừa vẽ có 3 hình chữ nhật thì đó là cách vẽ cần tìm.

Lời giải chi tiết:

Phương pháp giải:

- Nối các điểm đã cho, đếm số hình vuông và hình tam giác tạo thành.

- Nếu bằng với số lượng đề bài yêu cầu thì đó là cách vẽ cần tìm.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi \({u_n}\) là độ dài cạnh của hình vuông thứ \(n\).

Ta có: \({u_1} = 1;{u_2} = \frac{{{u_1}}}{2}.\sqrt 2  = \frac{{{u_1}}}{{\sqrt 2 }};{u_3} = \frac{{{u_2}}}{2}.\sqrt 2  = \frac{{{u_2}}}{{\sqrt 2 }};...\)

Từ đó ta thấy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Vậy \({u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}} = 1.{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{n - 1}} = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)

Diện tích của hình vuông thứ \(n\) là: \({a_n} = u_n^2 = {\left( {\frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}}} \right)^2} = \frac{1}{{{2^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)

Vậy \({S_n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{n - 1}}}}\)

Đây là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{2}\).

Vậy \({S_n} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right)\).

\(\lim {S_n} = \lim 2\left( {1 - \frac{1}{{{2^n}}}} \right) = 2\left( {1 - \lim \frac{1}{{{2^n}}}} \right) = 2\left( {1 - 0} \right) = 2\).

b) Chu vi của hình vuông thứ \(n\) là: \({p_n} = 4{u_n} = 4.\frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}} = \frac{4}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}},n = 1,2,3,...\)

Vậy \({Q_n} = 4 + \frac{4}{{\sqrt 2 }} + \frac{4}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + ... + \frac{4}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}} = 4\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}}} \right)\)

\(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}}\) là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu \({u_1} = 1\), công bội \(q = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Vậy \(1 + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{n - 1}}}} = 1.\frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}}} = \left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}}} \right)\).

\( \Rightarrow {Q_n} = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}}} \right)\)

\(\begin{array}{l}\lim {Q_n} = \lim 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}}} \right) = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \lim \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^n}}}} \right)\\ &  = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - 0} \right) = 4\left( {2 + \sqrt 2 } \right)\end{array}\).