Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b , AC = c . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau: ∠ BAC = 90 °
Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b , AC = c . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau: ∠ BAC = 120 ° và b = c
∠ BAC = 120 ° và b = c, khi đó ABC là một tam giác cân có góc A ở đỉnh bằng 120 ° và cạnh bên bằng b. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Kéo dài AM một đoạn MK = AM, ta có KA = KB = KC = AB = AC = b.
Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại K. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.
Ta có: OS = OA = OB = OC và
Do đó ta có mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có bán kính
Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b , AC = c . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau: ∠ BAC = 60 ° và b = c
∠ BAC = 60 ° và b = c, khi đó ABC là tam giác đều cạnh b. Gọi I là trọng tâm của tam giác đều nên I đồng thời cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Dựng d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.
Ta có OS = OA = OB = OC và r 2 = OA 2 = OI 2 + IA 2
Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có
Vậy
Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) có SA = a, AB = b, AC = c. Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau :
a) \(\widehat{BAC}=90^0\)
b) \(\widehat{BAC}=60^0\) và b = c
c) \(\widehat{BAC}=120^0\) và b = c
Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác K, ta được tứ diện SABC
a) Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC
b) Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trong trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC ) một góc bằng \(30^0\)
Vậy \(SB^2=\dfrac{6a^2}{9}+4a^2=\dfrac{42a^2}{9}\)
Do đó \(SB=\dfrac{a\sqrt{42}}{3}\)
Ta suy ra :
\(r=\dfrac{SB}{2}=\dfrac{a\sqrt{42}}{6}\)
Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC trong trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc bằng 300.
Trường hợp mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30 ° thì góc của hai mặt phẳng đó chính là góc ∠ SCA. Thực vậy vì SA ⊥ (ABC) mà AC ⊥ CB nên ta có SC ⊥ CB. Do đó ∠SCA = 30 ° .
Vì AB = 2a nên ta có AC = a 2 ta suy ra
Gọi r là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện khi ∠ SCA = 30 °
Ta có r = SB/2 = OA = OB = OC = OS, trong đó SB 2 = SA 2 + AB 2
Vậy
Do đó
Ta suy ra
Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.
Gọi I là trung điểm của cạnh AB. Vì tam giác ABC vuông cân tại C nên ta có IA = IB = IC. Vậy I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC phải nằm trên đường thẳng d’ vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I. Ta suy ra d’ // d. Do đó d’ cắt SB tại trung điểm O của đoạn SB. Ta có OB = OS = OA = OC và như vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ diện SABC.
Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a , BC = a 3 và SA = a 2 , SB = a 2 , SC = a 5 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC.
A. R = a 37 28
B. R = a 259 7
C. R = a 259 14
D. R = a 37 14
cho tứ diện ABCD với AB=AC=a. BC=b, hai mặt phẳng BCD và ABC cuông góc với nhau và góc BDc bằng 90 độ. xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
Gọi H là trung điểm BC
Vì \(\Delta BDC\) vuông tại D nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BDC\)
Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AH vuông góc với BC
Mà (ABC) vuông góc (BDC) nên AH vuông góc với (BDC) tại H
\(\Rightarrow\) tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD phải nằm trên đường thẳng AH
Chọn điểm O thuộc đường thẳng AH sao cho OA=OB thì O chính là tâm mặt cầu cần tìm
(bạn tự tính) được \(R=\frac{a^2}{b}\)
Cho hình chóp S.ABC có AB=a, AC=2a, góc B A C ^ = 60 ° , cạnh S A = a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là
A. a 55 6
B. a 7 2
C. a 10 2
D. a 11 2