a) M ∈ đường tròn đường kính AB

ΔBMI vuông tại M

⇒ tan I = MB / MI = 1/2

b) Dự đoán: Quỹ tích điểm I là hai cung  là các cung chứa góc 26º34’ dựng trên đoạn AB.

Chứng minh:

+ Phần thuận :

Theo phần a):  không đổi

I nằm trên cung chứa góc 26º34’ dựng trên đoạn AB cố định

Kẻ tiếp tuyến của đường tròn tại A cắt hai cung chứa góc 26º34’ dựng trên đoạn AB tại C và D

Khi M di động trên đường tròn đường kính AB cố định thì I di động trên cung BC và BD

⇒ I nằm trên hai cung  chứa góc 26º34’ dựng trên đoạn AB cố định.

+ Phần đảo:

Lấy điểm I bất kỳ nằm trên hai cung  nhìn AB dưới 1 góc 26º34’.

AI cắt đường tròn đường kính AB tại M.

⇒ BM /MI = tan I = 1/2.

Kết luận: Quỹ tích điểm I là hai cung  nhìn AB dưới góc 26º34’ (hình vẽ).

Kiến thức áp dụng

+ Trong một tam giác vuông, tan α = cạnh đối / cạnh huyền.

a) Vì = 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra trong tam giác vuông MIB có tg = = => = 26^o34’

Vậy không đổi.

b) Phần thuận:

Khi điểm M chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì điểm I cũng chuyển động, nhưng luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới góc 26^o34’, vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc 26^o34’ dựng trên đoạn thẳng AB (hai cung và )

Phần đảo:

Lấy điểm I' bất kì thuộc hoặc , I'A cắt đường tròn đường kính AB tại M'.

Tam giác vuông BMT, có tg = = tg26^o34’

Kết luận: Quỹ tích điểm I là hai cung và

a) Vì \(\widehat{BMA}\)= 90^o (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) suy ra trong tam giác vuông MIB có tg\(\widehat{AIB}\) = \(\dfrac{MB}{MI}\) = \(\dfrac{1}{2}\) =>\(\widehat{AIB}\) = 26^o34’

Vậy \(\widehat{AIB}\) không đổi.

b) Phần thuận:

Khi điểm M chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì điểm I cũng chuyển động, nhưng luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới góc 26^o34’, vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc 26^o34’ dựng trên đoạn thẳng AB (hai cung và )

Phần đảo:

Lấy điểm I' bất kì thuộc hoặc , I'A cắt đường tròn đường kính AB tại M'.

Tam giác vuông BMT, có tg\(\widehat{I'}\) = \(\dfrac{M'B}{M'I'}\) = tg26^o34’

Kết luận: Quỹ tích điểm I là hai cung và

Khi điểm M chuyển động trên đường tròn đường kính AB thì điểm I cũng chuyển động, nhưng luôn nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới góc 26^o34’, vậy điểm I thuộc hai cung chứa góc 26^o34’ dựng trên đoạn thẳng AB (hai cung  và )

Phần đảo:

Lấy điểm I' bất kì thuộc  hoặc , I'A cắt đường tròn đường kính AB tại M'.

Tam giác vuông BMT, có tg =  = tg26^o34’

Kết luận: Quỹ tích điểm I là hai cung  và 

Dự đoán: Quỹ tích điểm I là hai cung  là các cung chứa góc 26º34’ dựng trên đoạn AB.

Chứng minh:

+ Phần thuận :

Theo phần a):  không đổi

I nằm trên cung chứa góc 26º34’ dựng trên đoạn AB cố định

Kẻ tiếp tuyến của đường tròn tại A cắt hai cung chứa góc 26º34’ dựng trên đoạn AB tại C và D

Khi M di động trên đường tròn đường kính AB cố định thì I di động trên cung BC và BD

⇒ I nằm trên hai cung  chứa góc 26º34’ dựng trên đoạn AB cố định.

+ Phần đảo:

Lấy điểm I bất kỳ nằm trên hai cung  nhìn AB dưới 1 góc 26º34’.

AI cắt đường tròn đường kính AB tại M.

⇒ BM /MI = tan I = 1/2.

Kết luận: Quỹ tích điểm I là hai cung  nhìn AB dưới góc 26º34’ (hình vẽ).

quỹ tích điểm I là hai cung chứa góc AIB nhìn đoạn thẳng AB

M ∈ đường tròn đường kính AB

ΔBMI vuông tại M

⇒ tan I = MB / MI = 1/2

*chứng minh thuận

Trong đường tròn đường kính AB ta có:

Khi C chuyển động trên đường tròn đường kính AB cố định thì D chuyển động trên cung chứa góc 135 ° dựng trên đoạn thẳng AB cố định

-Khi dây AC có độ dài lớn nhất bằng đường kính đường tròn thì C trùng với B nên E cũng trùng với B.Vậy B là điểm thuộc quỹ tích

- Khi dây AC có độ dài nhỏ nhất bằng 0 thì C trùng với A.khi đó E trùng với A nên A là một điểm của quỹ tích

Vậy E chuyển động trên cung chứa góc  135 °  vẽ trên đoạn AB nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C

*chứng minh đảo:

Lấy điểm E’ bất kì trên cung chứa góc  135 °  , nối AE’ cắt đường tròn đường kính AB tại C’.Nối BE’, BC’

Quỹ tích điểm các điểm E khi C chuyển động trên nửa đường tròn đường kính AB là cung chứa góc  135 °  vẽ trên đoạn AB, trong nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C

Các tam giác ∆ANE, ∆AMC và ∆BMD vuông cân

=>  A E B ^ = A D B ^ = A C B ^ = 45 0

Mà AB cố định nên các điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn

Do C là trung điểm của BD => \(AC\perp BD\) ( AC trùng với đường kính đường tròn ( O ; R ) đi qua C ) 

\(\Delta ABD\) có AC vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến => \(\Delta ABD\) cân tại A 

=> AB = AD (không đổi) hay với C di động trên đường tròn ( O ; R ) thì AD không đổi => D di động trên đường tròn ( A ; 2R )