Sửa đề: EF//AB(F thuộc BC)

Xét tứ giác AKCF có

E là trung điểm chung của AC và KF

=>AKCF là hbh

=>AK//CF

=>AK//BC

Xét tam giác COA tao có FD là đường trung bình 

=> FD = 1/2 A'C' 

chứng minh tương tự FD = 1/2 AC => A'C' =AC

chứng minh tương tự B'C"= BC; A'B'=AB

vậy tam giác ABC =tam giác A'B'C'

Xét \(\Delta DAM\) và \(\Delta CBM\) có:

\(BM=AM\left(gt\right);\widehat{DMA}=\widehat{CMB}\left(đ.đ\right);DM=MC\left(đ.đ\right)\Rightarrow\Delta DAM=\Delta CBM\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DAM}=\widehat{CBM}\)  ( 1 ) 

Tương tự \(\Delta AEN=\Delta CBN\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{EAN}=\widehat{BCN}\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra:\(\widehat{DAM}+\widehat{EAN}=\widehat{CBM}+\widehat{BCN}\)

\(\Rightarrow\widehat{DAM}+\widehat{EAN}+\widehat{BAC}=\widehat{CBM}+\widehat{BCN}+\widehat{BAC}\Rightarrow\widehat{DAE}=180^0\)

=> D,A,E thẳng hàng.

Mặt khác \(DA=BC;EA=BC\Rightarrow DA+EA=2BC\Rightarrow DE=2BC\Rightarrow DA=EA\Rightarrowđpcm\)

* Xét tứ giác ABCD, ta có:

MA = MC (gt)

MB = MD (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác ABCD là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

⇒ AD // BC và AD = BC (1)

* Xét tứ giác ACBE, ta có:

AN = NB (gt)

NC = NE (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác ACBE là hình bình hành (vì có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) ⇒ AE // BC và AE = BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: A, D, E thẳng hàng và AD = AE

Nên A là trung điểm của DE hay điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A.

xét tam giác ADE có:

AB=DB( gt)

AC=EC (gt)

=> BC//DE ( t/c đường trung bình)

ta có: BC//DE (CMT)

AM vuông góc với BC

AM=IM

=> góc AID= góc AIE

Xét tam giác AEI và tam giác ADIcó:

góc DAI= góc EAI

AI chung 

góc AID= góc AIE (CMT)

=> tam giác  AEI = tam giác ADI (g.c.g)

=> DI=EI(2 cạnh tương ứng)

a: Xét tứ giác AEBM có 

D là trung điểm của AB

D là trung điểm của EM

Do đó: AEBM là hình bình hành

* Xét tứ giác AOBM, ta có:

DA = DB (gt)

DO = DM (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác AOBM là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

⇒ BM // AO và BM = AO (1)

* Xét tứ giác AOCN, ta có: EA = EC (gt)

EO = EN (định nghĩa đối xứng tâm)

Suy ra: Tứ giác AOCN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

⇒ CN // AO và CN = AO (2)

Từ (1) và (2) suy ra:BM // CN và BM = CN.

Vậy tứ giác BMNC là hình bình hành (vì có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau).