Ta có:

b^2=ac \(\Rightarrow\) \(\frac{a}{b}\)=\(\frac{b}{c}\)\(\Rightarrow\) \(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{ab}{bc}=\frac{a}{c}\)(1)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số = nhau ta có:

\(\frac{a}{b}=\frac{a}{c}=\frac{a+b}{b+c}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}\)(2)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow\)đpcm

Có \(b^2=ac\)

Có \(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a^2+ac}{ac+c^2}=\frac{a\left(a+c\right)}{c\left(a+c\right)}=\frac{a}{c}\left(đpcm\right)\)

Ta có:\(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\frac{a^2+ac}{ac+c^2}=\frac{a\left(a+c\right)}{c\left(a+c\right)}=\frac{a}{c}\)

=>ĐPCM

biến đổi vế trái ta có

\(\frac{a^2+ac}{ac+c^2}\) (vì b²=ac) =\(\frac{a\left(a+c\right)}{c\left(a+c\right)}\) =\(\frac{a}{c}\)

\(b^2=ac\Leftrightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=k\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=k^2\)

mà a =bk ; b = ck => a =c k² => k² =a/c

=>\(\frac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=k^2=\frac{a}{c}\)

\(=\frac{2}{c}\)clgt ? 

Phải là \(\frac{a}{c}\)chứ

Chịu , đề nó thế

Ta có: b² = ac

<=> a/b = b/c

<=> a²/b² = b²/c² = (a² + b²)/(b² + c²) (1)

Lại có: a²/b² = a/b . a/b = a/b . b/c = a/c  (2)

Từ (1) (2) => (a² + b²)/(b² + c²) = a/c

b^2=ac

=>b/a=c/b=k

=>b=ak; c=bk=ak*k=ak^2

\(\dfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\dfrac{a^2+a^2k^2}{a^2k^2+a^2k^4}=\dfrac{1}{k^2}\)

\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{a}{ak^2}=\dfrac{1}{k^2}\)

=>\(\dfrac{a^2+b^2}{b^2+c^2}=\dfrac{a}{c}\)

a

\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}.\frac{b+c}{4}}=a\)

Tương tự với 2 cụm còn lại, cộng theo vế và thu gọn sẽ được đpcm.

b

\(a^2+b^2\ge2ab\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a^2+b^2}\le\frac{a}{2ab}=\frac{1}{2b}\)

Tương tự với 2 cụm còn lại, cộng theo vế là được đpcm.

mình chỉ làm đc câu a thôi nhưng dài lắm

bài đó áp dụng bất đẳng thức cô si

 bài dài quá bạn ạ