Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α). Chứng minh rằng khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (α).
Cho hai mặt phẳng (α) và (β). Chứng minh rằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β) là nhỏ nhất trong các khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng kia.
hai mặt phẳng song song (α) và (β) nên có 1 đường thằng a ∈ (α) và a // (β)
⇒ Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (β) là bé nhất so với khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc a tới một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (β).
Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (α) và (β) là nhỏ nhất trong các khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này tới một điểm bất kì của mặt phẳng kia.
Cho điểm O và mặt phẳng (α). Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).
Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (α) ⇒ OH = khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α)
M là điểm bất kì thuộc mặt phẳng (α), xét quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu OH < OM
Vậy khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) là bé nhất so với các khoảng cách từ O tới một điểm bất kì của mặt phẳng (α).
Hãy nêu cách tính khoảng cách :
a) Từ một điểm đến một đường thẳng ;
b) Từ đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a;
c) Giữa hai mặt phẳng song song.
a) Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng Δ không đi qua O, ta xác định mặt phẳng (O; Δ) và trong mặt phẳng này kẻ OH ⊥ Δ. Độ dài OH chính là khoảng cách từ O đến Δ.
b) Để tính khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(α) song song với a, ta lấy một điểm M bất kì thuộc đường thẳng a. Gọi N là hình chiếu của M trên mp(α) . Khoảng cách MN từ điểm M đến mp(α) chính là khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(α) song song với a.
c) Để tính khoảng cách giữa hai mp(P) và (P’) song song với nhau, ta lấy một điểm M thuộc (P). Gọi H là hình chiếu của M lên (P’). Khi đó, MH chính là khoảng cách giữa hai mp (P) và (P’).
Cho đường thẳng b. Gọi a và a’ là hai đường thẳng song song với đường thẳng b và cùng cách đường thẳng b một khoảng bằng h (h.94), (I) và (II) là các nửa mặt phẳng bờ b. Gọi M, M’ là các điểm cách đường thẳng b một khoảng bằng h, trong đó M thuộc nửa mặt phẳng (I), M’ thuộc nửa mặt phẳng (II). Chứng minh rằng M ∈ a, M’ ∈ a’.
Góc AHH’ = góc HH’A’ (= 90o). Mà 2 góc đó là 2 góc so le trong
⇒ a // b
Và a // a’
⇒ a’ // b
- Tứ giác AMKH có AH = MK (= h) và AH // MK (cùng ⊥ b)
⇒ Tứ giác AMKH là hình bình hành ⇒ AM // HK
Mà a // b ⇒ a // HK
Do đó AM trùng với a hay M ∈ a
- Chứng minh tương tự: M’ ∈ a’
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng α : 2 x + y - 2 z = 0 , đường thẳng d : x + 1 2 = y + 2 2 = z + 3 2 và điểm A ( 1 2 ; 1 ; 1 ) . Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( α ), song song với d đồng thời cách d một khoảng bằng 3. Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:
A. 7 2
B. 21 2
C. 7 3
D. 3 2
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α): 2x+y-2z-2=0, đường thẳng d : x + 1 1 = y + 2 2 = z + 3 2 và điểm A ( 1 2 ; 1 ; 1 ) . Gọi Δ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α), song song với d đồng thời cách d một khoảng bằng 3. Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:
A. 7/2
B. 21 / 2
C. 7/3
D. 3/2
Ta có: d ⊂ (α) nên d và ∆ song song với nhau và cùng nằm trong mặt phẳng (α).
Cho điểm O và đường thẳng a. Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là bé nhất so với các khoảng cách từ O đến một điểm bất kì của đường thẳng a
Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là OH (H là hình chiếu vuông góc của O trên a)
Dựa vào quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc ⇒ khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là bé nhất so với các khoảng cách từ O đến một điểm bất kì của đường thẳng a
Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và song song với đường thẳng b. Lấy một đường thẳng m bất kì thuộc mặt phẳng (P). Tính (b, m) và từ đó rút ra mối quan hệ giữa b và (P).
\(\left. \begin{array}{l}a \bot \left( P \right)\\m \subset \left( P \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot m \Rightarrow \left( {a,m} \right) = {90^0}\)
a // b \( \Rightarrow \left( {a,m} \right) = \left( {b,m} \right) = {90^0}\) mà đường thẳng m bất kì thuộc mặt phẳng (P)
\( \Rightarrow \) b \( \bot \) (P).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α): 2x+y-2z-2 = 0 và đường thẳng có phương trình d : x + a 1 = y + 2 2 = z + 3 2 và điểm A(1/2;1;1) Gọi ∆ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (α) , song song với d, đồng thời cách d một khoảng bằng 3. Đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (Oxy) tại điểm B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:
A. 7/3
B. 7/2
C. 21 2
D. 3/2