Gọi M, N, P theo thứ tự là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh SA, SB, SC; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA, các điểm D, E, F đồng thời cũng là tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh AB, BC, CA.

Ta có: AD = AF $=>\; AB\; =\; AC$

BD = BE$=>$ BC = AB

$=>$ AB = BC = CA

$=>$ \(\Delta ABC\) là tam giác đều (1)

Ta lại có AM = AD; BN = BD = AD

và SM = SN = SP

$=>$ SM + AM = SN + NB

$=>$ SA = SB

Chứng minh tương tự ta có: SA = SB = SC.

Gọi H là chân đường cao của hình chóp kẻ từ đỉnh S, ta có:

\(\Delta SHA=\Delta SHB=\Delta SHC\) => HA = HB = HC

$=>$ H là tâm của tam giác đều ABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều.

Gọi mặt cầu đã cho có tâm O và bán kính R.

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC và CA.

Gọi I,J và K lần lượt là tiếp điểm của các cạnh bên SA, SB, SC với mặt cầu:

+ Từ giả thiết ta suy ra: OI ⊥ SA; OM ⊥ AB

Xét tam giác OIA và tam giác OMA có:

⇒ ∆ OIA = ∆OMA ( ch- cgv)

⇒ AM = AI.

Chứng minh tương tự có: BM= BJ và SI = SJ (1)

Mà AM = BM nên AI= BJ ; (2)

Từ (1) và (2) suy ra: SI+IA = SJ + BJ hay SA = SB (3)

* Chứng minh tương tự, ta có SB= SC (4).

Từ (3) và (4) suy ra: SA = SB = SC (*)

Mặt khác ; BM = BN (= BJ) và CN = CP (= CK)

Suy ra; AB = 2BM = BC = 2 CN = 2CP = CA

Do đó, tam giác ABC là tam giác đều (**)

Từ (*) và (**) suy ra, S. ABC là hình chóp tam giác đều.

Giả sử mặt cầu đi qua đỉnh A của hình chóp và tiếp xúc với cạnh SB tại B1, tiếp xúc với cạnh SC tại C 1 . Khi đó mặt cầu cắt cạnh AB, AC lần lượt tại các điểm C 2 ,   B 2 . Mặt phẳng (SAB) cắt mặt cầu đó theo giao tuyến là một đường tròn. Đường tròn này tiếp xúc với SB tại B1 và đi qua A và  C 2

Do đó, ta có: BB 1 2 = BA . BC 2

trong đó 

Do đó 

Vậy

Điều đó chứng tỏ mặt cầu nói trên đi qua trung điểm  C 2  của đoạn AB. Lí luận tương tự ta chứng minh được mặt cầu đó đi qua trung điểm  B 2  của AC.

Gọi giao điểm thứ hai của mặt cầu với đường thẳng SA là D, ta có:

Do đó

Do đó, \(SD=\dfrac{a^2}{2}:a\sqrt{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}\)

và \(AD=SA-SD=\dfrac{3a\sqrt{2}}{4}\)

Đáp án A

+ Do các cạnh bên cùng tạo với đáy một góc bằng nhau nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

+ Mà tam giác ABC vuông tại B nên trung điểm H của AC chính là hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy  ⇒ SH ⊥ ABC .

Góc giữa SA và mặt đáy chính là góc giữa SA và AC hay  SAC ⏜ = 60 °  

⇒ ΔSAC  đều => Trọng tâm G chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC và  G ∈ SH .