Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A=\text{ | }\left(\text{ | }x\text{ | }+15\right)\text{ | }-3=\) là
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức và giá trị đó xảy ra khi nào ?
\(D =\left(4-5x\right)^{2k}-3^2\left(k\text{ }\text{ }\text{∈}\text{ }N\right)\)
\(D=\left(4-5x\right)^{2k}-3^2=\left(4-5x\right)^{2k}-9\)
Vì \(\left(4-5x\right)^{2k}\ge0\Rightarrow D=\left(4-5x\right)^{2k}-9\ge9\)
=>Dmin=(4-5x)2k-9=9
=>(4-5x)2k=0
=>4-5x=0
=>5x=4
=>x\(=\frac{4}{5}\)
Vậy Dmin khi x=\(\frac{4}{5}\)
do (4-5x)2k\(\ge\)0 với mọi x
=>D=(4-5x)2k-32\(\ge\)-9 với mọi x
Dấu bằng xảy ra khi:(4-5x)2k-32=9
=>(4-5x)2k=0
=>4-5x=0
=>5x=4
=>x=\(\frac{4}{5}\)
vậy D min = -9 tại x=\(\frac{4}{5}\)=0,8
Cho biểu thức A = \(\dfrac{3}{\text{x}+1}\)
Tính giá trị của biểu thức A tại \(\left|\text{x}\right|\) = 2
\(ĐK:x\ne-1\\ \left|x\right|=2\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\left(tm\right)\\x=-2\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)
Với \(x=2\Leftrightarrow A=\dfrac{3}{2+1}=1\)
Với \(x=-2\Leftrightarrow A=\dfrac{3}{-2+1}=-3\)
Cho biểu thức A = \(\dfrac{3}{\text{x}+1}\)
Tính giá trị của biểu thức A tại \(\left|\text{x}\right|\) = 2
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}A=\dfrac{3}{2+1}=\dfrac{3}{3}=1\\A=\dfrac{3}{-2+1}=\dfrac{3}{-1}=-3\end{matrix}\right.\)
\(\text{Cho x,y là các số thực dương và }x+y\le1\)
a)\(\text{Chứng minh rằng }\frac{x^3+y^3}{2}\ge\left(\frac{x+y}{2}\right)^3\)
b) \(\text{Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức }P=\left(1+x+\frac{1}{x}\right)^3+\left(1+y+\frac{1}{y}\right)^3\)
\(\text{Cho các số dương x,y thỏa mãn điều kiện}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2018.\text{Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P=x+y}\)
Cách của mình dài ,bạn nào có cách khác ngắn gọn hơn thì chỉ cho mình với ạ. Cảm ơn
Trước hết ta chứng minh BĐT phụ sau: \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2}.\)(*)
Thật vậy: \(ax+by\le\sqrt{\left(ax+by\right)^2}\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\)(BĐT bunhiacopxi)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+x^2+y^2+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge a^2+b^2+x^2+y^2+2\left(ax+by\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\right)^2\ge\left(a+x\right)^2+\left(b+y\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{x^2+y^2}\ge\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)}\). BĐT đã được chứng minh
Xét : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)=x^2-\left(1+x^2\right)=-1.\)
Theo giả thết : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2018\)
\(\Rightarrow2018\left(x-\sqrt{1+x^2}\right)=-\left(y+\sqrt{1+y^2}\right).\)
\(\Leftrightarrow2018x+y=2018\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y^2}.\)(1)
Tương tự:
Xét:\(\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)\left(y-\sqrt{1+y^2}\right)=y^2-\left(1+y^2\right)=-1\)
Theo giả thiết : \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=2018\)
\(\Rightarrow2018\left(y-\sqrt{1+y^2}\right)=-\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)\)
\(\Leftrightarrow x+2018y=-\sqrt{1+x^2}+2018\sqrt{1+y^2}\)(2)
Cộng các vế của (1) và (2) lại ta được
\(2019\left(x+y\right)=2017\left(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}\right)\)
Khi đó áp dụng bất đẳng thức (*) ta có;
\(2019\left(x+y\right)=2017\left(\sqrt{1^2+x^2}+\sqrt{1^2+y^2}\right)\ge2017\left(\sqrt{\left(1+1\right)^2+\left(x+y\right)^2}\right)\)
\(\Rightarrow2019\left(x+y\right)\ge2017\sqrt{4+\left(x+y\right)^2}\)
Đặt \(x+y=a>0\)ta có;
\(2019a\ge2017\sqrt{4+a^2}\Leftrightarrow2019^2a^2\ge2017^2a^2+2017^2.4\)
\(\Leftrightarrow\left(2019^2-2017^2\right)a^2\ge\left(2017.2\right)^2\Leftrightarrow a^2\ge\frac{2017^2.2.2}{2.4036}\Leftrightarrow a^2\ge\frac{2017^2}{2018}\)
\(\Rightarrow a\ge\frac{2017}{\sqrt{2018}}\Rightarrow x+y\ge\frac{2017}{\sqrt{2018}}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+y là \(\frac{2017}{\sqrt{2018}}\)
Dấu '=' xảy ra khi \(x=y=\frac{2017}{2\sqrt{2018}}.\)
bn đào thu hà k cần cm bdt phụ đâu đấy là bdt mincopski đc dùng luôn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\(D=\text{|}x+3\text{|}+5\text{|}6x+1\text{|}+\text{|}x-1\text{|}+3\)
Cần cm : \(\left|a\right|+\left|b\right|\ge\left|a+b\right|\)
\(\Leftrightarrow\left(\left|a\right|+\left|b\right|\right)^2\ge\left(\left|a+b\right|\right)^2\Leftrightarrow a^2+2\left|ab\right|+b^2\ge a^2+2ab+b^2\)
\(\Leftrightarrow\left|ab\right|\ge ab\) (luôn đúng; dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow ab\ge0\))
Áp dụng ta có :
\(A=\left|x+3\right|+5\left|6x+1\right|+\left|x-1\right|+3=\left(\left|x+3\right|+\left|1-x\right|\right)+5\left|6x+1\right|+3\)
\(\ge\left|x+3+1-x\right|+5\left|6x+1\right|+3=5\left|6x+1\right|+7\ge7\) có GTNN là 7
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+3\right)\left(1-x\right)\ge0\\\left|6x+1\right|=0\end{cases}\Rightarrow x=-\frac{1}{6}\left(TM\right)}\)
vẬY \(D_{min}=7\) khi \(x=-\frac{1}{6}\)
Cho các số phức z1,z2,z3 thỏa mãn \(\left|\text{z}_1+1-4i\right|=2,\left|\text{z}_2-4-6i\right|=1\) và \(\left|\text{z}_3-1\right|=\left|\text{z}_3-2+i\right|\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức \(P=\left|\text{z}_3-\text{z}_1\right|+\left|\text{z}_3-\text{z}_2\right|\)
\(A.\dfrac{\sqrt{14}}{2}+2\)
\(B.\sqrt{29}-3\)
\(C.\dfrac{\sqrt{14}}{2}+2\sqrt{2}\)
\(D.\sqrt{85}-3\)
1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(B=\left(\text{ | }x-3\text{ | }+6\right)^2-7\) là
2. http://i.imgur.com/cRvsHTM.png?1 câu này nhé :))
Câu 1:Cho biểu thức P=\(\text{}\text{}\text{}\text{}\left(\dfrac{x}{4-x^2}+\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{1}{x+2}\right):\left(1-\dfrac{x+1}{x+2}\right)\)
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi cho \(\left|x\right|\)=1
c)Tìm x để P >0
d)Tìm x để P = \(\dfrac{1}{x+1}\)
Câu 2:Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH chia cạnh huyền của tam giác thành hai đoạn có độ dài như sau: HB = 25cm, Hc = 36cm. Vậy đường cao AH có độ dài là