Nếu hàm số y = a x 2 + b x + x có a > 0 , b < 0 , c < 0 thì đồ thị của nó có dạng nào trong các hình sau?
Ta có: x = − b 2 a > 0 nên trục đối xứng nằm bên phải trục Oy
Đồ thị cắt trục tung tại điểm (0; c) nằm dưới trục hoành ( vì c < 0).
Do đó, đồ thị B là đồ thị của hàm số đã cho.
Đáp án B
a. Xét dấu của biểu thức f(x) = 2x(x+2)-(x+2)(x+1)
b. Lập bảng biến thiên và vẽ trong cùng một hệ tọa độ vuông góc đồ thị của các hàm số : y = 2x(x+2) ( C1 ) và y = (x+2)(x+1)(C2)
Tính tọa độ giao điểm A và B của (C1) và (C2).
c. Tính các hệ số a, b, c để hàm số y = ax2 + bx + c có giá trị lớn nhất bằng 8 và độ thị của nó đi qua A và B.
a) f(x) = 2x.(x+2) - (x+2)(x+1) = 2x2 + 4x - (x2 + 3x + 2) = x2 + x - 2
Tam thức x2 + x – 2 có hai nghiệm x1 = -2 và x2 = 1, hệ số a = 1 > 0.
Vậy:
+ f(x) > 0 nếu x > x2 = 1 hoặc x < x1 = -2, hay x ∈ (-∞; -2) ∪ (1; + ∞)
+ f(x) < 0 nếu x1 < x < x2 hay x ∈ (-2; 1)
+ f(x) = 0 nếu x = -2 hoặc x = 1.
b)
* Hàm số y = 2x(x+2) = 2x2 + 4x có đồ thị (C1) là parabol có:
+ Tập xác định: D = R
+ Đỉnh I1( -1; -2)
+ Trục đối xứng: x = -1
+ Giao điểm với trục tung tại gốc tọa độ.
+ Giao điểm với trục hoành tại O(0; 0) và M(-2; 0).
+ Bảng biến thiên:
* Hàm số y = (x + 2)(x+1) = x2 + 3x + 2 có đồ thị (C2) là parabol có:
+ Tập xác định D = R.
+ Đỉnh 
+ Trục đối xứng: x = -3/2
+ Giao với trục tung tại D(0; 2)
+ Giao với trục hoành tại M(-2; 0) và E(-1; 0)
+ Bảng biến thiên
* Đồ thị:
* Tìm tọa độ giao điểm:
Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số:
Nhìn vào đồ thị thấy (C1) cắt (C2) tại A(1; 6) và B ≡ M(-2; 0)
Cách 2: Tính:
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là nghiệm của phương trình:
2x(x + 2) = (x + 2)(x + 1)
⇔ (x + 2).2x – (x + 2)(x + 1) = 0
⇔ (x + 2).(2x – x – 1) = 0
⇔ (x + 2).(x – 1) = 0
⇔ x = -2 hoặc x = 1.
+ x = -2 ⇒ y = 0. Ta có giao điểm B(-2; 0)
+ x = 1 ⇒ y = 6. Ta có giao điểm A(1; 6).
c)
+ Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c đi qua điểm A(1; 6) và B(-2; 0)
⇔ tọa độ A và B thỏa mãn phương trình y = ax2 + bx + c
+ Ta có bảng biến thiên của hàm số y = ax2 + bx + c:
Nhận thấy y đạt giá trị lớn nhất bằng 8
Thay b = 2 + a và c = 4 – 2a vào biểu thức 4ac – b2 = 32a ta được:
4.a.(4 – 2a) – (2 + a)2 = 32a
⇔ 16a – 8a2 – (a2 + 4a + 4) = 32a
⇔ 16a– 8a2 – a2 – 4a - 4 – 32a = 0
⇔ -9a2 - 20a - 4 = 0
⇔ a = -2 hoặc a = -2/9.
Nếu a = -2 ⇒ b = 0, c = 8, hàm số y = -2x2 + 8
Nếu a = -2/9 ⇒ b = 16/9, c = 40/9, hàm số 
Cho hàm số y=f(x). Đồ thị hàm số y=f'(x) trên [-5;3] như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của parabol y = a x 2 + b x + c .).
Biết f(0)=0 giá trị của 6f(-5)+3f(2) bằng
A. -9
B. 11.
C. 9.
D. -11.
Cho hàm số y = ax2 + bx + c có đồ thị (P) như hình vẽ.
Khẳng định nào sau đây là sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (− ∞ ; 3).
B. (P) có đỉnh là I (3; 4).
C. (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.
D. (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
Đáp án C
Đồ thị hàm số đi lên trên khoảng (− ∞ ; 3) nên đồng biến trên khoảng đó. Do đó A đúng.
Dựa vào đồ thị ta thấy (P) có đỉnh có tọa độ (3; 4). Do đó B đúng.
(P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ −1 và 7. Do đó D đúng.
Dùng phương pháp loại trừ thì C là đáp án sai.
Nếu hàm số y = a x 2 + bx + c có a < 0,b > 0 và c > 0 thì đồ thị của nó có dạng
A.
B.
C.
D.
Đồ thị hàm số y = f ( x ) = a x 2 + b x + c được cho trong hình 47. Kí hiệu Δ = b 2 - 4 a c là biệt số của f(x). Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. a, b trái dấu
B. f(x) ≤ 0, ∀x
C. a < 0, c < 0
D. Δ = 0, a < 0
Cho hàm số y = f x có đạo hàm tại ∀ x ∈ ℝ , hàm số f ' x = x 3 + a x 2 + b x + c có đồ thị (như hình vẽ )
Số điểm cực trị của hàm số y = f f ' x là
Hãy vẽ đồ thị của các hàm số y = 2 x 2 , y = - 2 x 2 . Dựa vào đồ thị để trả lời các câu hỏi sau:
a) Nếu a > 0 thì hàm số y = a x 2 đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào?
Với giá trị nào của x thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất? Có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị lớn nhất không?
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi nào? Nghịch biến khi nào? Với giá trị nào của x thì hàm số đạt giá trị lớn nhất? Có giá trị nào của x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất không?
b) Đồ thị của hàm số y = a x 2 có những đặc điểm gì (trường hợp a > 0 , trường hợp a < 0)
Vẽ hình:
a) Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0
Với x = 0 thì hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0. Không có giá trị nào của hàm số để đạt giá trị lớn nhất.
Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.
Hàm số đạt giá trị lớn nhất y = 0 khi x = 0 . Không có giá trị bào của x để hàm số đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Đồ thị hàm số y = a x 2 là đường cong (đặt tên là parabol) đi qua gốc tọa độ nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
Nếu a > 0 thì đồ thị nằm trên trục hoành, điểm O là điểm thấp nhất đồ thị (gọi là đỉnh parabol).
Nếu a < 0 thì đồ thị nằm bên dưới trục hoành, điểm O là điểm cao nhất của đồ thị.
Cho hàm số y = a x 2 + b x + c có đồ thị như hình bên. Khẳng định nào sau đấy đúng?
A. a>0, b>0, c<0
B. a>0, b<0, c>0
C. a<0, b>0, c<0
D. a<0, b>0, c>0
Hướng dẫn giải
Parabol có bề lõm quay xuống nên a<0
Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên c<0. Hàm số trên đạt cực đại tại điểm
Chọn C
