Cho hàm số y= x4-2( m+1)x2+ m ( C). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số C có ba điểm cực trị A: B; C sao cho OA= BC ; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
A. m = 2 ± 2 2
B. m = 2 + 2 2
C. m = 2 - 2 2
D. m = ± 1
Ta có : y’ = 4x3-4( m+ 1) x= 4x( x2- (m+ 1) ).
Hàm số có điểm cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có nghiệm phân biệt hay m+1> 0 suy ra m> - 1. (*)
Khi đó, ta có:
Do đó O A = B C ⇔ m = 2 m + 1 ⇔ m 2 - 4 m - 4 = 0 ( ∆ ' = 8 ) ⇔ m = 2 ± 2 2 (thỏa mãn (*)).
Vậy m = 2 ± 2 2 .
Chọn A.
Cho hàm số y = x 4 - 2 ( m + 1 ) x 2 + m ( C ) . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số (C) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại
A. m = 2 ± 2 2
B. m = 2 + 2 2
C. m = 2 - 2 2
D. m = ± 1
Chọn A
Ta có:
Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi :
y ' có 3 nghiệm phân biệt
⇔ m + 1 > 0 ⇔ m > - 1 ( * )
Khi đó, ta có y ' = 0
(vai trò của B, C trong bài toán là như nhau ) nên ta giả sử
Ta có: O A ( 0 ; m ) ⇒ O A = m ⇒ B C = 2 m + 1
Do đó OA = BC
⇔ m = 2 ± 2 2 ( t h ỏ a m ã n ) ( * )
Vậy m = 2 ± 2 2
Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y = m x 4 - ( m + 1 ) x 2 + 2 m - 1 có 3 điểm cực trị ?
B. m < -1
C. -1 < m <0
D. m > -1.
Chọn A
[Phương pháp tự luận]:
y ' = 4 m x 3 - 2 ( m + 1 ) x = 0
Hàm số có 3 điểm cực trị
[Phương pháp trắc nghiệm] :
Đồ thị hàm số y = a x 4 + b x 2 + c có 3 cực trị khi và chỉ khi a và b trái dấu , tức là : ab < 0
Cho hàm số y= 2x3-3( m+ 1) x2+ 6mx+ m3 với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A; B thỏa mãn AB = 2
A. m=0
B. m=0; m= 2.
C. m=1
D. m=2
Ta có
Để hàm số có hai điểm cực trị khi m khác -1
Tọa độ các điểm cực trị là A( 1; m3+ 3m-1) và B( m; 3m2)
Suy ra
Chọn B.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = mx 4 + ( m - 1 ) x 2 + 2 có đúng 1 điểm cực đại và không có điểm cực tiểu.
A. 
.
B. 
.
C. 
.
D. 
.
Đáp án C
TH1: 
suy ra 
hàm số có 
điểm cực đại 
nhận m=0.
TH2: 
.
Theo yêu cầu bài toán
.
Vậy 
là giá trị cần tìm.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m x 4 + 2 ( m - 1 ) x 2 + 2 có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại
A. m < 0
B. 0 < m < 1
C. m > 2
D. 1 < m < 2
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = m x 4 + 2 ( m - 1 ) x 2 + 2 có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại
A. m<0
B. 0<m<1
C. m>2
D. 1<m<2
Cho hàm số: y = x 3 − (m + 4) x 2 − 4x + m (1)
a) Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số (1) đi qua với mọi giá trị của m.
b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số (1) luôn luôn có cực trị.
c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của (1) khi m = 0
d) Xác định k để (C) cắt đường thẳng y = kx tại ba điểm phân biệt.
a) y = x 3 − (m + 4) x 2 − 4x + m
⇔ ( x 2 − 1)m + y − x 3 + 4 x 2 + 4x = 0
Đồ thị của hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm A(x; y) với mọi m khi (x; y) là nghiệm của hệ phương trình:
Giải hệ, ta được hai nghiệm:
Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm (1; -7) và (-1; -1).
b) y′ = 3 x 2 − 2(m + 4)x – 4
Δ′ = ( m + 4 ) 2 + 12
Vì Δ’ > 0 với mọi m nên y’ = 0 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó). Từ đó suy ra đồ thị của (1) luôn luôn có cực trị.
c) Học sinh tự giải.
d) Với m = 0 ta có: y = x 3 – 4 x 2 – 4x.
Đường thẳng y = kx sẽ cắt (C) tại ba điểm phân biệt nếu phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: x 3 – 4 x 2 – 4x = kx.
Hay phương trình x 2 – 4x – (4 + k) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là:
Cho hàm số f x = m x 4 − m + 1 x 2 + m + 1 .Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tất cả các điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho nằm trên các trục tọa độ là
A. − 1 ; 1 3
B. − 1 ; 0 ∪ 1 3
C. 0 ; 1 3 ∪ − 1
D. 0 ; − 1 ; 1 3
Đáp án là B.
• Trường hợp m = 0
f x = − x 2 + 1 có đồ thị là parabol, có đỉnh I(0;-1).
Đồ thị hàm số đã cho có một điểm cực đại là I thuộc trục tung.
Do đó m = 0 thoả yêu cầu bài toán.
• Trường hợp m ≠ 0
f ' x = 4 m x 3 − 2 m + 1 x
f ' x = 0 ⇔ x = 0 ∨ x 2 = m + 1 2 m
+ Nếu − 1 ≤ m < 0 thì f ' ( x ) = 0 có nghiệm x = 0 ( y = m + 1 )
Đồ thị hàm số có một điểm cực đại (0;m+1) thuộc trục toạ độ.
+ Nếu m < − 1 ∨ m > 0 thì f ' ( x ) = 0 có ba nghiệm phân biệt
x = 0 y = m + 1 x = m + 1 2 m ( y = 3 m 2 + 2 m − 1 4 m ) x = − m + 1 2 m ( y = 3 m 2 + 2 m − 1 4 m )
Khi đó đồ thị hàm số có các điểm cực trị thuộc các trục toạ độ khi và chỉ khi 3 m 2 + 2 m − 1 = 0 ⇔ m = − 1 ∨ m = 1 3 . Nhận m = 1 3
